n ~ 777 "iïiF ~^ 'di 7/7^ "*" d
en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs tirées de ( r), et ayant égard aux formules ( ^1), (12) et OG), on trouve aisément
du' , , ./ /• \n<fi'' <¥\ 1/ ^^p" \ •/ '':>'
dt ^ ' dt \ /•■* V dl dt ) r'-^ \ dl ' / /"•' V di
d'où la première des formules ci-dessous,
du- , „- '' ( r d/'" , dp'
('■^8) Ida'' ^ , „ /^ r' ,/ dp „dp"
d"'" , , ., '^r „[ ,dp' dp „ ■
RECHERCHAS DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l3c)
multiplions ces équations par r//, intégrons, etportonsles valeurs de u-, a'-, ii"-, qui en résultent, dans les formules (i4)î il viendra
2 dt'^
2 df-
2 dt-
p'i -p'i"+j{i''ir
dp^
~dt
dp" ~dt
dp dt
di
q' rj \ dt
— qp
ce sont les formules que nous voulions obtenir; si on les différentie, on fera disparaître les signes /; les équations différentielles ainsi obtenues, bien qu'étant d'un ordre plus élevé, ont été très utiles à M. Lindstedt dans son important Mémoire Sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des tivis corps (^Annales de l'Ecole Normale, 3*^ série, t. I, p. 85).
49. Supposons que l'on ait résolu \q problème restreint, c'est-à-dire que l'on ait déterminé r, r' , r" en fonction de t et de sept constantes arbitraires distinctes de h et A-; nous allons montrer comment on pourra calculer ^',r', z' , 00", y", z" .
Commençons par donner une interprétation mécanique simple et bien connue des formules (6) :
Considérons trois points matériels P, P', P" ayant respectivement pour coordonnées, rapportées à une même origine 0, oc, y, z\ x' , y' , z' ; x" , y", z"\ appliquons à ces points des foi'ces F, F', F" dont les composantes parallèles aux axes soient
par le point 0, menons trois forces S, S', S" respectivement égales et parallèles, mais de sens contraires, à F, F', F". Les forces F et S forment un couple; il en est de môme de F' et S' et de F" et S". Ces trois couples se composent en un seul dont l'axe est une certaine droite OH et le moment G. Les équations (G) pourront s'écrire
dv
1 dz
1)1 dt '
m dt
I djc'
dy'
. dz'
m' dt
Vi!
dt'
m' dt '
1 dx"
dt
r dz\ m" dt '
Gcos(HOar) = a, Gcos(HOj) — ^, d'où l'on conclut, en se rappelant qu'on a posé a-
Gcos(H02) = c; - Z/^ -4- c'^ = k' :
cos(HO^) = 7>
COS(HO.^):^ j- A
i^O CHAPITRE VIII.
On voit donc que la droite OH reste invariable pendant toute la durée du mouvement; si nous la prenons pour axe des z-, nous devrons avoir
donc
cos(OHj7) = o, cos(OH7)=o, cos(OH^)=i; a=- o, b =zo, c =: k, et les formules (6) deviendront
iù
dz m \^ dt
dx 'dt
dy
dt
I / dv dx
dv dt
dz
Tt
dx ~dt
dz^ dt
dx' dt
dy
dt
dz^ 'di
dx'
"^•^ dt
±,(^,dy ,
m' \ dt -^ dt
iW'
dx'^ dt
" ~dF
„dz"
dt
^„d^y,dx"
dt
dt
, dz' ^, dy' ^, dx' , dz'
" " ' ^ ~di ~~ ^ ~dt
Multiplions ces équations respectivement par y' -jr ~ ,,
dy' dx'
07 -^ — y -jT et ajoutons. En ayant égard aux formules (26), nous trouverons
/.(.^^dy ,dx'\^
dt
dt
dz" dv"
nous aurons de même, en employant maintenant les facteurs/"— ~^ ~JT''
W , ( „dy" „dx
ni" ^ -'^ -^
dt
Ajoutons maintenant les équations (3o) après les avoir multipliées d'abord par a?', y, :;', puis par x", y", z"; nous obtiendrons ainsi des expressions de kz'
et de ^-" dans lesquelles les coefficients de — > —7» —„ seront représentés par ^ m m' m" ^ *
des déterminants qui se déduiront aisément, en ayant égard aux relations (5), des suivants :
dx"
V X —rdt
dx
dt
dy
-^ " dt
,, . dz
" " Tt
On trouvera, en effet.
dy
dt
dz' dt
df dt
dz^ dt
kz — j
kz" — -
Nous allons montrer comment on calculera les quantités 0, 0', S".
rxECIIERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l4l
50. L'expression (33) de o peut s'écrire, à cause des formules (5),
dx ~dt
dy dt
dz dt
en combinant cette expression avec celle de o', on trouve
dt
. .., djy + f) •^ -^ dt
dt
dx" dt
dy" dt
dz" dt
on vérifie aisément, toujours en s'appuyant sur les relations (5), que le dernier déterminant écrit est égal à ù" . On a donc cette formule importante
On peut d'ailleurs trouver directement les valeurs de o, â', §", en élevant au carré les déterminants (33) par la règle connue et ayant égard à des relations obtenues antérieurement; il vient ainsi
I / dp"\ dr
-A^^'^) 'di
dp"
2 \P '^' dt ) \
dr^ dt
Développons ce déterminant et rappelons-nous la formule (22); nous trouverons sans peine
^'^ dt ^ dt 4 dt^
j< .. dr I „ dp"
^^P'Tt--^''
dt ) 4^
En remplaçant r^p^ par sa valeur
„dp' ,dp"\ dp""- dp
dt
dt
dt^
dt'
dp' dp"
dt ~^ ~dt
tirée de la première des équations (21), on trouve, après réduction, la première des formules suivantes :
(36) è = ^(T^u^-l, ô' = vV"" — -^'' o" = \/a'u"-'—l".
On aura donc ainsi 0, S', B" en fonction des quantités connues; mais il faut associer convenablement les signes des trois radicaux du second degré, ce qui peut se faire de la manière suivante : la formule (35) donne
d'où, en remplaçant dans le second membre 0-, 0'^, 0"- par leurs valeurs (36),
} de même,
' do' =n-+- -■^")-c^'^•"• Les seconds membres de ces équations sont connus en grandeur et en signe ; si donc on se donne le signe de c, on en déduira les signes de 0' et de 0"; si l'on venait à changer le signe de 0, ceux de 0' et 0" changeraient aussi, et les formules (34) montrent que cela reviendrait à changer le signe de la quantité k dont le carré seul figurait dans (D).
En combinant les formules (35) et (36), on trouve
(38) \/a' a» — I + \/a^ m'»— ^ -h \''^ÛJ^^T = o;
on vérifie aisément qu'en chassant les radicaux on retombe sur l'équation (13) dont on a ainsi une forme intéressante.
