Les formules (34) et (36) donnent

m"k mk '

m' k mk

Reste à trouver les valeurs de œ', /, x", y"; posons

m m ni

RECHERCHES DE LVCliAXCE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l43

les quantités V et Y" pourront être considérées comme connues; cela posé, les formules (3i) et (32) pourront s'écrire

, dy' , d.r' ,, dy" „ dx"

'tt~-^' ~~dï y ■^' 'dT'^-^ ~dt

Si donc on fait

on aura

/ — x' = y//-'- — :;'^ coso', — j' = y//''- — ^'- sincp', ( x" -=-. v/?'^ — ^"2 ces 9" , y" — s/'-"- — -"' si » ?" »

do' V do" V"

^^ ~ A- ( r"- -z'^y dt ~~ k{ r"- - z"-' ) '

d'oij, en intégrant et désignant par £(, et £, deux constantes arbitraires,

les formules (F) et (G) feront connaître x',y' , œ" , y" .

Les valeurs de x' ,y' , z' , -v", y", z'(\m viennent d'être déterminées doivent vérifier la relation

si l'on applique cette relation à l'époque zéro, on trouve

V^'"u' — -0' \f''7 — '7 C0S2£i = :;; zl

ce qui donnera la constante £,, exprimée en fonction des neuf constantes arbitraires qui figurent dans les expressions de r, r', r" ; z^ n'est donc pas une nouvelle arbitraire; il n'en est pas de même de £„ qui reste quelconque; mais les formules (G) montrent que l'on peut supposer cette constante nulle en faisant tourner d'un angle convenable les axes des oc et des y dans leur plan.

Enfin, si l'on prend un nouveau système d'axes rectangulaires tout à fait quelconques, on passera des coordonnées relatives x'\y", ^", — og' , — y', — z' des corps C' et G" aux coordonnées rapportées aux nouveaux axes, en introduisant les trois angles d'Euler (jui doivent être considérés comme trois nouvelles

l44 CHAPITRE YlII.

constantes arbitraires qui, s'ajoutant aux neuf du problème restreint, donneront le nombre voulu de douze arbitraires.

Si l'on porte dans la formule (4o) les valeurs (F) de oo',y, x" et j" , on obtiendra immédiatement, et sans intégration, la valeur de 9"— 9'; on aura ensuite

on voit donc que, si le problème restreint est supposé résolu, on n'aura plus à effectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept intégrales à trouver dans le problème restreint; c'est donc à sept intégrales et une quadrature, au lieu de huit intégrales comme dans la méthode usuelle, que Lagrange ramène la question; on peut dire qu'il a fait faire un pas vers la solution.

52. Il nous reste à démontrer la formule (20); nous ferons connaître en même temps la manière de calculer à une époque quelconque les positions des plans des orbites décrites par les corps C et C" autour de C.

Revenons à lay?^. 17, et posons

IM'^t', LM"r-r, M'N' = ^^', W"S" = g\ M'LM"=:.J.

Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonométrie spbérique aux triangles M'LM", N'LM", . . . , nous trouverons

a' =:cosM'M" = cosÇ'cosC"4- sinC'sinÇ"cosJ,

(3' — cosM'N" = cosÇ'cos(Ç"+ ^") 4- sinT sin(r + 5") cosT,

y' = cosM'N' = cos^';

«"= cosN'lN" = Q.os{K' -\- g') cos(r-+- ^") + sin(Ç' + ^'•') sin(Ç" -f- ^") ces J, P''=cosM"N' = cos(Ç'-t-.^')cosr-f-sin(Ç' + ^')sinÇ"cosJ,

/r=COSM"N"=:COS^".

En éliminant entre ces six relations les cinq quantités t' , Ç', g', /j " et .1, on aura la formule cherchée.

Nous poserons

icosÇ' cosÇ"+ sinC'sinC'cosJ ^" >,, sinÇ' cosÇ"— cosC'siiiÇ"cosJ —-'k,, cosÇ' sinÇ"— sinÇ'cosÇ"cosJ = Xj, sin C sin Ç"4-cosÇ'cosrcosJ — >.3,

ce qui nous permettra d'écrire ainsi les formules (4i)

a' = X, (3' = Xcos^'"— >.2 sin^", y'=cos^';

a" = Xcos^'cos^"— >v, sin^'-'cos^" — 1^ cos^'sin^"+ >, %\ng' sin^";

(3"=Xcos^' — >., sin^'', y" -- cosg".