Les formules (45) et (47) donnent d'ailleurs

a' a" -S' S" cosJ= ;

d'où, en ayant égard aux valeurs de a', p', y', a", ^", y", obtenues au n° 44,

cosJ

l4o CHAPITRE VIII.

OU encore, à cause des formules (27),

cosJ

v^nn^

On tire ensuite des équations (42)

>.2 + X| — cos^Ç' + sin^Ç'cosM — I — sin^Ç'sin^J; sinM sin-Ç' = i — X"^— X|, sin^isin^C'^i — >.2— /.^ En remplaçant A, X, etX^ par leurs valeurs (43), il vient

d'où

et de même

sinJ sinC

f sinJsinÇ'= , ' !i-.

Si l'on élève au carré l'expression (33) de S', et qu'on introduise les éléments de \^fig. 17, on trouve

/•'/•" cosM'M" -«'/•" cos M" IS'

/•'/•" ces M' M"

«'/•'cosM'N'

w'/-''cosM"N' «'/-'cosM'N'

d'où

ou encore, en tenant compte de (36),

La seconde des formules (4^) donnera donc

sinJ sinÇ"

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l47

on trouve ainsi, en introduisant les quantités II' et H",

sinJ sinÇ =: - — -=i — -)

I sinJsinç = ;^

[ /-'Vn'

La formule (H) fait connaître l'inclinaison mutuelle J des grands cercles M'N' et M"N" qui représentent les plans des orbites de G" et C autour de G, et les formules (K) donnent les distances angulaires 'C == LM' et C'= LM" des corps G" et G' à l'intersection mutuelle de leurs orbites relatives.

En résumé, la solution de la seconde partie du problème est fournie par les formules(E), (F), (G), (H), (K).

54. Le problème des trois corps peut être résolu complètement dans le cas particulier où leurs distances mutuelles conservent des rapports constants pendant toute la durée du mouvement.

Soient A, A', A" trois constantes et l une nouvelle variable, on aura

en posant, pour abréger.

2fz=A'2-^A"2- A^ (5o) \ 2/ji' — A"24-A2 —k'\