K^ +A'2— A"^ d'où
( ^' + ^"r=A% ^^"+^ = A'^ ^^-/Jt'==A"^
L'équation (G) donne
dp m ixv ■+■ m' ix' v' -h m" (x" v"
de "^ l = ""'
i48 d'où
' ^ Cdt
Po désignant une constante arbitraire et I ayant pour valeur On trouve maintenant que la première des équations (28) devient
/ „ m -h m' -h m" \ u." v" — u'v' di mv f . f dt\
si l'on multiplie par dt cette équation et les deux autres analogues, qu'on les intègre et qu'on désigne par x,, x', et x'^ trois constantes arbitraires, on aura
m + «i + ni lâ = 2 1^ \- im
(53) I „ m -h nf -+- m , u. v — uv
,, uv — a' v' ,
dt
dt + /?jz,,
dt
~ dt -h m x"j .
Portons ces expressions de u^, u''^ et m"- dans les formules (i4)» <^t nous trouverons
\ d"-^^ m[i -\-{ fji'y '— ]a"v" ) A ] + /« '-t- w" /?i 2 'd^ Â^l ^ A
(54) ( I d^l'' m 4- m'[i ■^{pJ'v"— [j. v) A'] + m" ^ m 2 "^Z*" K'^'i
mx,
=rO,
dt
^' dt
i d^ m 4- m' + m"[i H- (/Jt v — /x'v' ) A''] , m 2 "^ AJ^^^*| ^ ^
Ces équations doivent être identiques. On en conclut que l'on doit avoir les conditions
m[i4-(fx'v'— /jt."v")A] 4- /n'4- m" m -h m'[t -\-{ix"v" — juiv) A'] 4- m"
m -+- /7î'4- m"[i 4-(fJiv — |ji'v') A"]
— Jn
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS. t49
et
/?iy m'v' /?i"v" (56)
/MX, 171 y., m y.
(57) A^ - A'- - A"^ ' à moins que l'on n'ait
(58) p„=o ■ et I = o;
de là deux solutions suivant que l'on considérera le système (55), (56), (57), ou l'autre (55), (57) et (58).
55. Occupons-nous d'abord du premier. Les formules (56) donnent
mv ni' v' m" v" v -1- v' -+- v"
Ti=o;
m ni m
on a donc
ainsi les trois corps forment toujours un triangle équilatéral; on peut faire A = i et prendre ^ — r', et, si l'on pose
les formules (54) se réduisent à
Les équations (53) donnent ensuite
I est nul, et la formule (52) donne p =: p^r= const. On trouve ensuite sans peine
dr'^
la formule (B) se réduit à
d'où
On tire d'ailleurs de (60) et (61)
,a \ 1^^''"' I-, ( ni^m'^m" \ i .,
d'où
r' dr' (63) dt
On a ensuite
t/— •/./•'2+ 2{m+m' -+- m")r' — ^pf,
quantité nulle d'après (61) et (62); on aura de même d'où, par les formules (E),
ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe. En continuant à appliquer les formules générales, on trouve
n' = n" = //'2 ,-'2 - ,-'2 ^ — I^çji
dt^ 3
lFr= W=:lïr/' ; ( ^/2,.'-2^p2 __ ,./2
et il en résulte, d'après (G),
(64) r"%=,»%=l^4(l. + l-, + -LX
dt dt "i k \m m' m"
Enfin l'équation (D) donne
imm'm" ' " Vm-' m'-' m"'' 2m' m" im m imm
RECHERCHÉS DE LAGRANGE SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS. l5l
dr'"' I •>
et l'on en tire aisément, en remplaçant r'^it"- — r''^ -j^ par ^pô'
^=£2.(.L + -L + JL
moyennant quoi (64) donne (65)
on a d'ailleurs et, si l'on pose
Il I "^ 9 =? + 3'
les formules (63) et (64) donnent
-, dr' n'dt
dt *
Il en résulte que C" décrit autour de C comme foyer, conformément à la loi des aires, une ellipse ayant id pour grand axe, n' comme moyen mouvement et e' comme excentricité.
La trajectoire de C est une ellipse égale à la précédente, qui aurait tourné de
l'angle -5 autour de C.
Il convient de remarquer que les vitesses initiales relatives w'„ et w'J, de C" et C
doivent être égales et faire entre elles un angle égal à -5-
56. Considérons maintenant la seconde solution qui sera fournie par les formules (55), (57) et (58); on tire de (52)
p=:o et
( 66 ) m ^v -f- ni' [i.'v'-\- m" ^" v" =:. o\
ainsi l'inconnue auxiliaire p, qui était constante dans le premier cas, est nulle dans le second. La formule (66), dans laquelle on remplacera les quantités (x
et V par leurs valeurs (r)o), donnera une équation de condition qui devra être remplie par les masses m, m\ m" et les constantes A, A', A". La première des équations (55) peut s'écrire
OU bien, à cause de (5o) et (5i),
.'■11' .i"m" flM .."m"
p. H- ix" [xI -\- IX
ou, en réduisant.
ou encore
//< u. — + ?« u. — ;;^ h W y' ZZ: O
^ ix'-h ix" ^ ix"-hix
m ix' —, T, — m' u. — ,7 H- m" v" ^ o.
^ |jl' + /jl" '^ ^" h- |JL
On arrive aisément à mettre cette relation sous la forme
( fx' ix" + p." jjL 4- p./jL' ) ( m y + m' y' — m" y" ) — /Jt" ( //« fJ-v + m' /J.' y ' + m" ^" y " ) — o ;
à cause de la formule (06), cela se réduit à
(|jl' jj." + ix" IX -+■ fjL/ji' ) [mv -{- m' y' — m" v" ) =; o.
Si la quantité \^'[t-" -+- l^"l^-+- H^-l^' n'est pas nulle, la formule précédente et celles qu'on en déduit par des permutations d'accents donneront
m y + m' y' — m" y" = o, m' y' + /?<" v" — mv r=i o, m" v" -h ni y — a/î' v' i= o,
d'où
on rentrerait ainsi dans le premier cas. On doit donc avoir
p.'/jt." ■+■ ix" [x-\- ix[x' z=L o ;
si l'on remplace [x, \x , \i!' par leurs valeurs (5o), on trouve
On devra donc avoir l'une des relations
A±A'±A"=o, d'où
/• ± /-'i r" = o\ ce qui prouve que les trois corps resteront constamment en ligne droite.
