RECHERCHES DE L\GRANGE SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS

La quantité cr est donc nulle; les formules (36), dans lesquelles S, S', S" ne peuvent jamais être négatifs, donnent

il en résulte

ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe. Les trois équations (54) se réduisent à la suivante

où l'on a fait

2 de- ~ i

m -^ m' -\- m" ~\- m"{ij.v — (x'v') A"

ni-/., m ■/., m 'A,

rdl

Multiplions l'équation (67) par ^ç-^, intégrons et désignons par H, une constante arbitraire; nous aurons

On trouve ensuite aisément

n'=:A'*H„ n"=A"*ii,,

on a d'ailleurs

ce qui permet d'écrire aussi

l54 CHAPITRE Vin.

On trouve, en continuant l'application des formules,

/^2 ^/2 ^n\ \/fi m' ni" }

do' dt

do" ~ dl

En substituant dans l'équation (D) les valeurs trouvées ci-dessus pour p, M, II! y ii\ V, v', v", r, r' , r\ on obtient, toutes réductions faites,

d'où il résulte

^^ ' dl dl ^

On peut prendre, si l'on veut, A"= r, d'où ^=:/'"; les formules (69) et (71)

donneront donc

r"dr"

dl —

On voit par là que le point C décrit, dans son mouvement relatif, une ellipse ayant pour foyer le point C, et la décrit conformément à la loi des aires; le demi

grand axe de l'ellipse est -, l'excentricité i / 1 — ^ et le moyen mouve-

ment tt-

La trajectoire de C" est naturellement une ellipse liomothétique à la précédente.

Pour que les trois corps restent ainsi toujours en ligne droite, il faut d'abord qu'ils aient été placés en ligne droite à l'origine du mouvement; il faut ensuite que les vitesses relatives de C et C" aient été primitivement parallèles entre elles, et proportionnelles aux distances /;, et /;, ; mais il faut de plus que la condition (66) soit vérifiée.

Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'origine le point C se soit trouvé placé entre G' et C" ; on aura donc eu

On a d'ailleurs, en faisant A"=: 1,