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il en résulterait

' - Ti- = «'

les excentricités des orbites relatives de C et C" seraient nulles, et ces orbites seraient des circonférences parcourues par les points C et C" avec des mouvements uniformes.

57. Supposons que C désigne la Terre, C le Soleil, C" la Lune, et voyons si l'on aurait pu, à l'origine des choses, placer ces trois corps en ligne droite, la Lune étant en opposition avec le Soleil, de manière qu'ils restassent toujours en ligne droite.

On a, dans ce cas,

:=! 62L\000, — = rT-;

m ni Si

l'équation (72) montre que A' est petit et que l'on aura une valeur très approchée en se bornant à

d'où

A' = — a peu près.

Laplace en a donc pu conclure (Mécanique céleste, t. IV) que si, à l'époque arbitraire prise pour origine, la Lune s'était trouvée en opposition avec le Soleil à une distance de cet astre représentée par 10 1, celle de la Terre étant représentée par 100, et que les vitesses relatives de la Terre et de la Lune autour du Soleil eussent été aussi à cette époque parallèles et dans le rapport de 100 à 10 1, la Lune serait toujours restée en opposition avec le Soleil.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE l'RORLÈME DES TROIS CORPS. l5']

Laplace a reproduit cette assertion dans V Exposition du système du Monde : « Quelques partisans des causes finales, dit-il, ont imaginé que la Lune a été donnée à la Terre pour l'éclairer pendant les nuits. Dans ce cas la nature n'aurait point atteint le but qu'elle se serait proposé, puisque nous sommes souvent privés à la fois de la lumière du Soleil et de celle de la Lune. Pour y parvenir, il eût suffi de mettre à l'origine la Lune en opposition avec le Soleil, dans le plan même de l'écliptique, à une distance de la Terre égale à la centième partie de la distance de la Terre au Soleil, et de donner à la Lune et à la Terre des vitesses parallèles et proportionnelles à leurs distances à cet astre. Alors la Lune, sans cesse en opposition avec le Soleil, eût décrit autour de lui une ellipse semblable à celle de la Terre; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'autre sur l'horizon, et, comme à cette distance la Lune n'eût point été éclipsée, sa lumière aurait remplacé constamment celle du Soleil. »

M. Liouville (^Journal de Mathématiques, t. VII, et Connaissance des Temps de 1845) s'est demandé si le système, dans l'état considéré par Laplace, aurait été un système stable, tendant à résister aux perturbations, et à revenir de luimême à son état régulier de mouvement; il a donc examiné le problème suivant :

« Trois masses étant placées non plus rigoureusement, mais à très peu près » dans les conditions énoncées par Laplace, on demande si l'action réciproque » de ces masses maintiendra le système dans cet état particulier de mouvement » ou si elle tendra au contraire à l'en écarter de plus en plus. »

M. Liouville a reconnu que u les effets des causes perturbatrices, loin d'être contrebalancés, sont au contraire agrandis d'une manière rapide par les actions mutuelles de nos trois masses; cette conclusion subsiste quels que soient les rapports de grandeur des masses. Si la Lune avait occupé à l'origine la position particulière que Laplace indique, elle n'aurait pu s'y maintenir que pendant un

temps très court. »

58. On vient de voir que l'on sait intégrer rigoureusement les équations différentielles du problème des trois corps lorsque leurs distances mutuelles conservent entre elles des rapports constants; ce cas se subdivise en deux autres; les trois corps forment toujours un triangle équilatéral, ou bien ils restent constamment en ligne droite.

Ces deux cas sont, à notre connaissance ('), les seuls connus où l'on ait pu résoudre le problème; on n'a pas pu surmonter les difficultés analytiques, même en supposant que les trois corps resteraient constamment en ligne droite, sans

(1) Nous ne comprenons pas dans le problème des trois corps, tel (pie nous l'avons défini, le mou voment d'un point matériel attiré par deux centres yîxe.f, problème que l'on sait résoudre.

l58 CHAPITRE YIII. — UECHERCHES DE LAGKANGE, ETC.

admettre que leurs distances soient dans des rapports constants; après Euler, Jacobi a considéré ce cas dans son Mémoire Theoria novi miiUiplicatoris . . . (C.-G.-J. Jacodi, Gesammelle Werke, t. IV, p. 47*^-)

Nous devons signaler aussi un Mémoire intéressant de M. H. Poiocaré : Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps (^Bulletin astronomique, 1. 1, p. (S'S^', l'auteur montre qu'il y a une infinité de positions et de vitesses initiales telles que les distances mutuelles des trois corps soient des fonctions périodiques du temps; les conditions pour qu'il en soit ainsi se trouvent remplies approximativement dans le système formé de Saturne et de deux de ses satellites. Titan et Hypérion.

Si nous avions voulu faire un exposé complet de tous les travaux importants qui se rapportent au problème des trois corps, nous aurions dû parler du célèbre Mémoire de Jacobi Sur l'élimination des nœuds dans le problème des trois corps (^Journal de Mathématiques, t. IX, i844)- Dans ce Mémoire, Jacobi, qui n'avait certainement pas connaissance du travail de Lagrange, arrive pour le problème à une réduction analogue; il lui reste à intégrer un système formé de cinq équations différentielles du premier ordre et d'une autre du second, et à effectuer ensuite une quadrature.

Nous devrions parler aussi d'un beau Mémoire de M. J. Bertrand {Journal de Mathématiques, t. XVII, i8j2), de la tbèse de M. Bour {Journal de l'École Polytechnique , XXXVP Cahier), des recherches intéressantes de M. Radau, Sur une propriété des systèmes qui ont un plan invariable {Journal de Mathématiques, 2*" série, t. XIV, 1869), etc.; mais nous sortirions ainsi des limites que nous nous sommes imposées.