CHAPITRE IX. — VAIIUTIOX OF.S; CONSTANTES AUniTRAlUES. I

MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. - VARIATION DES ÉLÉMENTS CANONIQUES. — ÉLÉMENTS OSCULATEURS. - VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.

Puisqu'il n'y a pas lieu de songer à intégrer rigoureusement les équations différentielles du mouvement des planètes, même quand ces planètes se réduisent à deux, on a recours à des méthodes d'approximation répondant aux besoins de l'Astronomie, sinon pour toutes les époques, du moins pour un assez grand nombre de siècles; l'une d'elles, la plus fréquemment employée, est la méthode de la variation des constantes arbitraires. Avant de l'exposer, nous allons démontrer un théorème important.

59. Considérons le système canonique suivant de ih équations différentielles

dt "^ àp/

dpi

dt "

où l'on a

H = F(^ q{,qi, ■ ■ . , qi,\ Pu Pi, ■ ■ -, p/,).

Supposons que l'on ait suivi, pour intégrer ces équations, la méthode de Jacobi; on aura donc d'abord réussi à trouver une solution S do l'équation

r}S ^ /, dS JS ^S \

dt \ "' '^ âq^ âq^ dq,.J

contenant h constantes arbitraires a,, 7..,, ..., a^^, sans compter celle que l'on peut toujours ajouter directement à S; on a vu, dans le n° 6 de l'Introduction,

l6o CHAPITRE IX.

que si l'on désigne par p,, (^o, ..., [3^, h nouvelles constantes arbitraires, les intégrales générales des équations ([) seront données par les formules

qui, résolues par rapport «lux variables p et q, fournissent des expressions de cette forme

3 ( Ç'/^'fjC^, OC], 3(2, . . ., a/,; ;3,, (3,, . . ., |3/,),

( />/=^«(^. «1, «2, • • •. «/M t^t, 1^2, • • -, Pa).

Les équations (i) doivent être vérifiées identiquement par ces valeurs de yo,et qi', ainsi, les relations

^^^ dt " dp' àt ~ dfji'

dont les seconds membres sont supposés aussi exprimés à l'aide de / et des ih constantes arbitraires a/ et (^/, doivent avoir lieu quelles que soient ces quantités oLi et |3,.

Supposons maintenant que l'on veuille intégrer ce nouveau système canonique de 2 A équations différentielles

.„. dqi (?(H-R) dpi a(H-R) .. ,.

(5) iï ^ dp, ' -dT= ô^--' (^=1,2, ...-/o,

qui ne diffère du précédent qu'en ce que la fonction H y est remplacée par H — R, R désignant une certaine fonction de / et des 2 A variables /?/ et qi.

Il est naturel de chercher à tirer parti de l'intégration déjà faite des équations (i). On retient, pour résoudre le nouveau problème, les mêmes expressions analytiques (3) des variables pi et q^, mais en y considérant les 2 h quantités a et ^^, non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables que l'on déterminera convenablement; cela revient à faire un changement de variables, et la méthode indiquée reçoit le nom ^^ méthode de la i^ariation des constantes arbitraires. On tirera maintenant des formules (3)

dqi dyj ^ /dqj dy.j dqi d^\ de ~ dt Zd \doLj dt "*" ù'^j dt y

dpi ^4^, •yi (àpi dctj dpi d^j

dt ~ dt Zd \daLj dt dfj dt ) '

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. l6l

En substituant dans (5), il viendra

dcfi dïl -^ fâqi docj dq,- d^,\ âR

'dï ~ 'dpi'^ 2à \daj ~dt ^ "dfj ~dt) ~~ âpi'

i àU ^ /âpj d^ àpj d^j\ (^R .

" "^ dqi 2d \dy.j dt ^ (?(3y dt)~^ âqi'

dt

ces équations se simplifient eu égard aux relations (4) qui, ayant lieu identiquement, sont encore vérifiées lorsque les quantités a et (3 sont variables, au lieu d'être constantes. On trouve ainsi

I ôR __ "^ /dq,- dd/ dqi dpj \ ^ dpi~ 2d \dâ^j dt ~^ d^j ~cû (6) I J."^* } (f = I, 2, ...,/0.

du -^ /dpi docj âpi d^j

dqt ^ \day dt d'^j dt

On a là un système de 2 A équations renfermant au premier degré les ih indc/.i da/i^ rfj3i d^h

connues ^^, ^ dt^ dt' ' dt

La résolution de ces équations, que nous allons faire par un procédé indirect, fournit pour les inconnues des expressions d'une simplicité remarquable.

Les équations (2) coïncident avec les équations («) et (è) du n° 8 de l'Introduction; on peut donc appliquer les relations (e), (/), {g), (A) de ce même numéro, ce qui permet d'écrire ainsi les formules (6),

d^j d(Xj d(Xj d^j

^Pi dt âpi dt

d^j doCj âiXj d^j

âqi dt dqi dt

où les dérivées partielles ^~--, y~, ,— ? -~- supposent que l'on a résolu les

équations (2) par rapport aux quantités a et ^.

Supposons maintenant que, dans les formules (3), on attribue aux quantités a, , . . . , a^, p, , . , , p^ des variations infiniment petites arbitraires Sa, , . . . , Sa/,, 0^,, . ., S[3/,, sans toucher au temps ^; il en résultera pour /?,, . . ., p^, y,, . . . , q^ des variations correspondantes et faciles à calculer; R, qui est une fonction de t et de/?,, .,., p/^, qt, . . ., y^, prendra aussi une variation correspondante <5R, et T. - l. 21

lG2 CHAPITRE IX.

l'on aura

(Voii, en remplaçant -r- et ^ par leurs valeurs (7),

^-^ = 21: [(t ^A - fj a.,) t - (^5^ ^.- - ^; a.,) f ]

ou encore

mais on a évidemment

docj ^ doLj . \

Il vient donc

Or on peut calculer autrement SR, en remplaçant d'abord dans R les quantités/? et q par leurs expressions (3); R devient ainsi une fonction de / et des 2 A quantités a et fl, et l'on aura

Cette expression de §R doit être égale à la précédente, quelles que soient les ih variations §ay et oj3y, qui sont indépendantes les unes des autres. On en conclut

dy.j dR d'Pj d\\ ,. ,-

Ces équations, dont les seconds membres sont des fonctions supposées connues de t et des quantités a et p, détermineront les nouvelles variables dont les expressions devront être ensuite substituées dans les formules (3) pour obtenir les valeurs cherchées des inconnues/?,, /'2> •••» ^i» ^2» ••• • Les équations (8) ont, comme on le voit, la forme canonique. Si l'on avait intégré les équa-