VARIATION DES ÉLÉMENTS CANONIQUES

tions ([) par une méthode autre que celle de Jacobi, les constantes arbitraires ainsi introduites, devenues variables pour l'intégration des équations (5), auraient dépendu, en général, d'équations plus compliquées que les équations (8), et qu'il aurait fallu former et calculer dans chaque cas, suivant la nature de la fonction R = ¥(t, Çf, q.,, . . . , q/^;p^, /?2, . . . , /?^). Le grand avantage que présente la méthode de Jacobi, c'est que l'on peut écrire immédiatement les formules (8).

60. Appliquons les résultats précédents à la détermination des mouvements des planètes. Soient^, y, z■',x^,y^, z,; ... les coordonnées des planètes P, P,, . . .; m, TTit, . . . leurs masses, celle du Soleil étant prise pour unité; les équations différentielles du mouvement de la planète P sont, comme on l'a vu au n° 18,

! (Px X dR

l ~dë '^ ^ V' ~ 'd^'

du'- ^ r'^ dy et- z z (?R

OÙ l'on a

fjt. = I 4- 7?r , /-^ r=: ^2 | j,2

\sJ^x-x,Y-^^y-y,Y-r{z-z,Y r\ J

En supprimant R, on a les équations différentielles du mouvement elliptique,

— rr + iM -:; = o,

Posons

dx , dy , dz

dt ' dt -^ ' dt

T irz 1 (^'2+ y"'-\-z'^), U = ^, H =- T - U:

en remarquant que R ne contient que x,y, z, et le temps t (|ni sera introduit

l64 CHAPITRE IX.

par Xi, Yf, z^, . . , mais ne renferme pas œ', y', z', nous pourrons écrire comme il suit les équations (a) et (6) :

(oc)

[ dx

dt "

âx'

dy'

dz Tft "

dx'

\ dt ~

ày

JL\

dt ~

( dx \ dt ~

dx''

dz''

j dx'

\ dt ~

dyl dt ^~

dy'

dz'

dll

On voit que les formules (a) et(^) coïncident avec les formules (5) et (i) du numéro précédent.

Or, dans le Chapitre VII, on a intégré par la méthode de Jacobi les équations (b), ou leurs équivalentes (^); on a introduit ainsi six arbitraires canoniques a,, aj, (X.3, ^,, [îo, [3.,, dont la signification géométrique a été précisée, et sera rappelée dans un moment. Il en est résulté, pour les intégrales générales des équations ((îl), des expressions de cette forme

lx~cfi{t,c(i,a.i,a3,^i,^i,^3), 7=?2> -—93,

^y"^ i , dx , . o r3 o ■ , dy , . dz ,

Cela posé, d'après la méthode indiquée, quand il s'agit d'intégrer les équations (a), on conserve pour x, y, z, œ', j', z' les mêmes expressions analytiques (y); mais alors, a,, ce.,, cf.^, fJ,, ^^^ ?3 seront de nouvelles variables, et nous savons, par le numéro précédent, que nous aurons les six équations canoniques

où l'on doit supposer que R est une fonction de t, a,, a^, a.,, p,, (^a, P^, obtenue en remplaçant, dans (9), x,y, z par leurs expressions (y).

Ces expressions n'ont pas été développées dans le Chapitre YII; mais elles sont une conséquence des formules (d) du n** 32 et (g) du n° 41, formules que

d(Xi

du^ dR

dt ~

dt ~~

dt - d(33

d% dt

di\

d(Xi

doCi

^^3 • ^R dt doc^

ÉLÉMENTS OSCULÂTEURS. l65

nous allons écrire de nouveau, pour plus de clarté :

k =r. y^f jjt., /i r= — , u — e sin u zzz nt -\- e — cr,

/ \ 4 p — cr/i + e^ u r ■= a{i — e cosu), lang — ^ — ^^ V/ ~^^^ë

, j. r -r^cn^i — ecuau), !-«"&

X m^r [cos9cos(r — 9) — sin 9 sin(p — 5) C0S9], y = /-[sinô cos(p — 9) -h cos9sin((^— 9) coscp], s =rsin(p — 9) sin 9;

,= /:\/a(i — e2)cos9, a3:=A'\/a(i — e^),

(3.= ^«% [3.= 9, (33 = rn

Il suffit, en effet, d'éliminer les quantités «, e, ... entre (c?) et (^) pour obtenir la première série des formules (y), la seule que nous utiliserons; -on trouverait celles de la seconde série en différentiant les expressions de x^ y, z sans faire varier les éléments.

Pour l'intégration des équations (a), on devra considérer les éléments a, p, ... ou a, e, ... comme variables, et l'on obtiendra les équations différentielles correspondant aux variables a, e, ... en remplaçant dans (§) les éléments canoniques par leurs expressions (g) en fonction des éléments employés par les astronomes. Ce calcul sera fait plus loin. En somme, les éléments canoniques n'auront servi que d'intermédiaires permettant d'écrire immédiatement les équations (0).

Ce qu'il faut retenir, c'est que les expressions de ce, y, z, x' ,y' , z' sont de la forme

qu'il s'agisse des équations (p) ou des équations (a); seulement, les quantités a, e, ... sont constantes dans le premier cas, variables dans le second.

61. Supposons que l'on connaisse les expressions, fonctions du temps, que l'on doit mettre dans les formules (10) à la place de a, e, . . . pour représenter le mouvement de la planète P ; soient a^, ^o» • • • leurs valeurs à une époque déterminée et d'ailleurs quelconque t^. Remplaçons dans (10) a,e, ... par a^,

l66 CHAPITRE IX.

<?„, . . . , et désignons par x, y, z ce que deviennent x, y, z; il viendra

on aura visiblement, pour t = t^, (12) x = ^, y = 7, z = 5,

c/x dx dy dy dz dz

dt dt dt dt dt dt

Les formules (11) représentent le mouvement elliptique d'une planète lictive de masse m, qui aurait à l'époque t^ même position et même vitesse que la planète P, et qui ultérieurement, dans chacune de ses positions, serait soumise

seulement à l'attraction du Soleil, — —^ •

Les éléments «o» ^o» • • • sont appelés les éléments oscillateurs de l'époque ^0 '■> ce sont donc les éléments de l'orbite elliptique invariable que décrirait la planète P, si, à partir de l'instant /„» t^He cessait d'être attirée par les autres planètes P(, P2, On pourra les calculer par les formules du n" 38, connaissant

les valeurs, pour l'époque t^, des coordonnées x^, jo. ^0» et des composantes

(tF ) ' (^) ' ITy" ) ^^ '^ vitesse. Si donc le mouvement de la planète était connu, rien ne serait plus facile que de calculer les divers systèmes d'éléments osculateurs qui correspondent aux époques t^, t^

Soient (fig, 18) PoC l'orbite de la planète, Po sa position et PoAo = V,, sa vitesse à l'époque t^, P sa position au temps t; soient PqG' l'orbite elliptique de la planète fictive considérée plus haut, P' sa position au temps/; supposons que l'intervalle / — /« soit une quantité infiniment petite du premier ordre. On pourra calculer a:;, j, z, coordonnées du point P, et x, y, i, coordonnées de P', par la formule de Taylor :

fdx\ t—fo fd^x\ {t — toY

\dt J Q I \dt^ /o 1.2

dt )o ~ i "^ V di'