VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES
on aura, à cause de (12),
et, en ayant égard aux formules (a) et (b),
/dR\ {t-^toY \dxj^ 1.2
on aura des formules semblables pour les différences j — y, z — z ; si l'on remarque que les quantités (^) ' (-t~) ' \'~âz) contiennent dans chacune de
leurs parties l'un des petits facteurs numériques m,, m^, . . , on voit que la distance des points P et P' sera infiniment petite du second ordre, à cause du facteur (i — t^y, et qu'elle sera plus petite encore à cause de la présence des facteurs m, ou m.,, . .. , dans le coefficient de (^ — t^y. On pourra, pour un intervalle de temps suffisamment petit, remplacer le mouvement delà planète de Po en P par celui de la planète fictive, sur l'arc d'ellipse PqP'. C'est donc le problème des deux corps, dont la solution est bien connue, qui sert en quelque sorte d'élément infinitésimal pour aborder le problème du mouvement d'un nombre quelconque de corps.
Définitions. — Le mouvement de la planète P sur son orbite PoC est appelé le mouvement troublé; on peut dire que ce mouvement, qui serait elliptique si les autres planètes n'existaient pas, est troublé par la force dont les composantes
sont -T-y -, > -v-5 Que l'on nomme force perturbatrice ;\2i fonction Rest elle-même ox ay oz ^ e/ /
nommée fonction perturbatrice. Les différences x — y^, y — y, z ~ z sont appelées les perturbations des coordonnées; les différences a — «„, e — ^0, ... sont elles-mêmes les perturbations des éléments. Enfin, la partie de la Mécanique céleste qui a pour but le calcul des perturbations reçoit le nom de Théorie des perturbations.
(d'Y Œ'V (1 "^ \ X, y, ^y-jp-iff^ if) une intégrale première des
équations différentielles du mouvement elliptique; G sera donc une certaine fonction des éléments elliptiques; on aura la même relation dans le mouvement troublé, pourvu que l'on remplace dans C les éléments par leurs valeurs variables à l'époque t. Cela est évident si l'on se reporte aux formules (11) qui représentent le mouvement elliptique ou le mouvement troublé, suivant que l'on y suppose les éléments constants ou variables.
62. Il nous reste à conclure des formules (S) celles qui donnent les dérivées des éléments elliptiques a, e, cp, 0, ter, £.
Pour y arriver, nous résoudrons les équations (g) par rapport à ces éléments, ce qui nous donnera
2 aj
coscp
Nous aurons d'abord
et
da "di
k^ da^
2(X\ dt
de «3 / dot^ d(Xs\
e -r- = -rr ( oc, — -, h 2ai — r- h
dt k*\ ^ dt ^ dt J
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sino
dx^
de d^ di^ dt '
drs d^2 d^3
'dt ~ 'df "^ ~dt '
de d^, d^3 I , Ad^t 3 „ . i rfa,
dt'^W-^-^t ^ ^. (- ^-0- i- - ^. M- -oc,)- -^^ ;
d'où, en tenant compte des formules (S) et (g).
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de
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