VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. I7I
trouve
dh
- i' dR
\Ji-h--
dl
na?-
dl
\Jv—h^-
-V' dR
\J\—h^na-
dt "
na?-
dh
h dR °2 dR
/tarife
Alang?
/ dR 2 dR
1 l y/i 7^2 ^2 de naVi - h^ — ^'- ^^
On verra plus loin que l'on substitue à la fonction R un développement dont les divers termes sont ordonnés par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites; on apercevra dès lors aisément que, si l'on consent à négliger de petites quantités d'un ordre supérieur de deux unités à celui des quantités conservées, l'excentricité^tant regardée comme du premier ordre, /'^ ^' on peut alors réduire les équations (i6) aux suivantes, qui sont très simples :
dh i dR dl dt nd^ dl ^ dt
I dR
nd^ dh
, dO . -, do
r>c ri û ai lia t noiivor
if ôfro <
De même, les valeurs de -r- et de -^ peuvent être sujettes à des difficultés
si 9 est petit, ce qui arrive le plus souvent; on les évitera en faisant, par une transformation analogue à la précédente,
(r8) /? = tangcp sin0, ^^tang^cosô,
et remplaçant <p et 6 par les nouvelles variables p et q. On trouvera
dp r, dO si n Q do
dq . ^d9 cos 9 do
^=-tangcpsm0^-H^^~,
dR , aàR , . .dR
-^ = tang9 COS0 ^ - lang9 sinô ^ ;
dR sinô dR cos 9 dR
d<f> cos'' 9 dp
COS'' 9 dq
dp 'di^
I dR
na^\/\ — e^cos'cp àq
CD
2/ia*y/i — e* COS9COS''-
idR dR \(?GT de
dq
I dR
(ôR dR
dt
«aVï— e'cos*9 àp
ina^sj i —e^ cos 9 cos'-
\dn3 de
]'j2 CHAPITRE IX. — VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
Si l'on consent encore à négliger des quantités d'un ordre supérieur de deux unités à celui des quantités conservées, l'inclinaison ç étant considérée comme du premier ordre, on peut se borner à
dp I
dq
^^ ~ na'^sjT^
- e2 aq
dt
si e est petit en même temps que 9, on pourra même prendre plus simplement
dp
I dR
dq
I dR
dt "^
lia'- dq '
dt ~~
na^ dp'
on voit l'analogie de ces formules avec les formules (17)
64. Les formules (h) du n*^ 62 permettent de résoudre toutes les questions relatives au mouvement des planètes; nous les avons obtenues par la voie qui nous a paru la plus directe. Mais nous croyons ne pouvoir nous dispenser de reproduire l'analyse employée pour arriver aux mêmes formules par Lagrange, qui doit être considéré à juste titre comme le créateur de la méthode de la variation des constantes arbitraires.
Dans le Chapitre précédent, nous avons mis les équations différentielles du mouvement de la planète P sous la forme
djc d[\l-\{) dx' d(H — R)
lu J^~ -' "' — '"- ^"" - = ^'
. dy (?(H-R) ..^ „,„ „,
dz (?(H -R)
dt
dx
dy
di
ày
dz' dt
dz
dt dz' " '
Lagrange considère d'une manière plus générale les ih équations
H est une fonction donnée quelconque de t, x,y, ..., x', y', ...; il en est de même des quantités X, Y, ..., X', Y', ...; le nombre Adcs groupes de deux équations associées peut être quelconque.
dx
ôQi
dx'
'di "
dx'
dt
dx
dy
dQ
dt
dy'
dt
dy
Concevons qu'on ait réussi à intégrer rigoureusement Je système suivant, que l'on déduit du précédent en y supposant nulles les quantités X, Y, ..., X, Y, ...
cit. d^'^"^' 'dt ~^'d^~'^' {b) [ dy dn dy' dO.
dt dy ^^' dt ' dy ~"^'
On aura donc obtenu des expressions de x, y, ..., œ',y' ... fonctions de t et de ih constantes arbitraires a,h, c, ...,f, g, vérifiant identiquement les équations {b), quelles que soient ces constantes arbitraires; écrivons ces expressions
(i) œ=^<i>^{t,a,b, ..., g), œ' = Wi{t,a, b, ..., g),
On va, pour représenter les intégrales des équations («), conserver les mêmes expressions analytiques (i) de x, x', ...; seulement on regardera a, b, ..., g non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables. On aura, dans cette hypothèse.
dx dx âx da dx db
dt dt da dt db dt
dx' dx' dx' da dx' db
dt dt da dt db dt
Portons ces expressions dans les équations {a) et remarquons que l'on a (2) dt dx''"^' dt ~'"da?~^'
puisque les formules (i) substituées dans les équations (b) doivent donner des résultats nuls, quelles que soient les quantités a, b, ..., constantes ou variables;
il viendra
dx da dx db dx de ^^
dû dt'^lb dJ'^dc 'di~^'"'~ '
iy ^ + ^ ^+^ ^4-...__Y'=o
da dt db dt de dt ' ' ' '
dx' da dx' db dx' de „
da dt db dt de dt ' ' ' '
dy' da dy' db dy' de ^
da dt db dt de dt ' ' ' '
da dh d^
~di' cW ' ' dt'
Ces 2 A équations contiennent au premier degré les ih inconnues "" ""^ '^^
Lagrange les combine en les multipliant respectivement par — ^, "~ 7) •
dx dv da j. ., - i • x
