j + .— ?•••; -y7 disparaît, et il vient

db f dx dx' dx dx' dy dy' dy dy'

dt \ da db db da da db db da

de f dx dx' \ -V dx ^rdy ^.dx' ^r.dy'

dt \ da de J da da da da

Posons (4) R„ = x^ + Y-^'' + ... + x'^ + y^ + ...,

da da da da

^^ ^"'^~dâ~d^~Jb'd^'^'d^tb~db'dâ'^"'

introduisons des quantités analogues R^, ..., R„; [ûî, c], .:., [a,^]; [^, a], [^, c], ..., qui seront fournies par des formules se déduisant immédiatement de (4) et (5), et l'équation (3) nous donnera la première des relations cidessous

r , -, db ^ ^ de r n d^ ^

65. Les quantités [a, ^], [a,c], ..., [^, c], ..., introduites par Lagrange, jouissent de propriétés importantes.

En premier lieu, on a

[a,a] — [b,b] = ... = [g,^]=zo;

cela résulte de la définition môme par la formule (5). En second lieu, on a

cela résulte encore immédiatement de la formule (5), qui montre que [a, b] change de signe quand on échange entre elles les lettres a et b.

Enfin la propriété la plus importante consiste en ce que [a, b] ne contient

pas le temps explicitement; il faut entendre par là que, si dans le second membre de la formule (5) on remplace œ, ce', ..., y, y' , ... par leurs valeurs (i), lesquelles sont fonctions de t et de a, b, ..., g\ une fois les calculs effectués, t disparaît.

Pour démontrer cette proposition, il nous suffira de prouver que l'on a

dt On trouve en effet, en partant de la formule (5^.

d[a, b] d^x dx' dx d^x' d-x dx' dx d^x'

dt da dt db da db dt âb dt da db da dt

d I dx dx' dx' dx

da \ dt db dt db dx d^x' dx' d-x

dt dadb dt dadb

dx d-x' dx' d^x

da dbdt da db dt ou bien

(?[«,&] d f dx dx' dx' dx \ ^ ( ^^ ^•^' ^■^' ^-^

dt "" Jâ \Tt ~db ~ ~dt Jb ~^ ' " ) ~"db\dt 'dâ~^ lâ^'

OU encore, en ayant égard aux formules (2),

à[a,b]d^/d^dx d^ dx[ \ A/^^^^ d^ dx[

dt ~ da\dx db dx' db "'/ db\dx da dx' da

ce qui peut s'écrire, en remarquant que Q ne contient b oua que par x, x' , . . . ,

d\a,b^ à d^ddQ. d-9. d^^ dt da db db da db da da db

Dans chaque cas particulier, (2 ayant une valeur déterminée et les fonctions $,, W^, ... qui figurent dans les équations (1) étant supposées connues, on déterminera les quantités [a, ^], ... par un calcul algébrique, en partant des formules (5) et(i); on aura ainsi à en calculer un nombre égal à

•2.h{ih — \)

on remplacera ensuite dans les équations (6) les symboles [a, b\ par leurs valeurs

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l'J'^

ainsi déterminées et l'on aura, en résolvant ces ih équations du premier degré, da db dg

dt dt' ' dt

les valeurs de -^> -r-, •••> ~ exprimées à l'aide de R«, R^. ..., R„ et de a.

On voit que tout ce calcul, qui peut être très long, est évité quand on suppose les équations {b) intégrées par la méthode de Hamilton-Jacobi.

La propriété qui vient d'être démontrée permet souvent d'abréger les calculs, en assignant une valeur particulière convenablement choisie au t«mps t qui finalement doit disparaître.

Supposons, par exemple, que l'on fasse i = o, et soienta^o, jo» • • • . ^o^Jo'

les valeurs correspondantes de a;, j, . . . , x\ y', ... ; on aura

^ ' ■' ~ da db db da da db db da '

Admettons, ce que l'on peut toujours faire, que a^ b, ... désignent précisément les quantités ^o>7o» •••» ^'o'/o' • •• î i^ viendra

Tro, .ic' ] - ^— ° ^ — ^ ^ 4- ^ M ^ ^ +

" dxQ doo'^ dx'^ dxQ dx^ dx'^^ dx'^ dx^ ' ' ' '

Or toutes les dérivées qui figurent au second membre de cette formule sont nulles à l'exception de deux, -~ et -^, qui sont égales à + i ; on aura donc

OXq OXq ^

on trouvera tout aussi facilement

de sorte que les formules (6) deviendront

^"^0 , j. dx',

dt -+*^-^i' "^-~*^^»'

dt --^^y^ ~dt~~^^^'''

Les valeurs initiales des variables œ,y, .,.,x',y, ... constituent donc un système très simple d'éléments, au point de vue de la méthode de la variation des constantes arbitraires; cependant on n'emploie pas ces éléments en Astro- T. - I. 23

lîomie parce qu'ils entrent d'une manière trop compliquée dans les expressions (i).

Remarque. — Quand on donnera ainsi à t une valeur particulière t^, si cette valeur dépend d'une ou de plusieurs des quantités a, b, ..., il faudra avoir soin de ne faire t = tf qu'après avoir calculé les dérivées partielles de x,x', .. ., par rapport à celles des quantités a, b, . .. qui figurent dans t,. Supposons, en effet, que l'on ait t, = /(a); il est évident que la dérivée par rapport à a de a; = (^^(t, a, b, ...), dans laquelle on fera ensuite t=/(a), ne sera pas la même que celle de l'expression $, [/(«), «, b, . . .].

66. Appliquons la théorie précédente à la détermination des mouvements des planètes.

Nous devrons faire

i2= H =3 T - U = - (a;'2 4- r'2+ ^'2) Ùf , 2 ^ ' r

X'=zo, Y'=o, Z'=o; dans ce cas, les premières des formules (a) donneront

djc , dy , dz

'di'' -^ ~~di^ ^ ^ dt

Les intégrales générales des équations {b) du mouvement elliptique ont été données au n*' 32; nous les rappellerons bientôt.

Commençons par un calcul préparatoire; traçons la sphère de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du Soleil ; elle est percée aux points ;r, j, z par les parties positives des axes de coordonnées, et le plan de l'orbite de la planète la coupe suivant le grand cercle NH. Soit \ le point de cette sphère où vient aboutir le rayon mené du Soleil au périhélie; prenons, dans le sens du mouvement de la planète, l'arc ^y] = 90°, et soit X, le pôle boréal du grand cercle ^y]. Les axes 0^, Oy), O'C forment un système d'axes rectangulaires que nous allons considérer, à côté de l'ancien système Oa?, Oj, Os. Désignons par a, (3, y; a', fl', y'; a", p", y" les neuf cosinus des angles que font les axes du premier

système avec ceux du second, ce qui sera clairement indiqué par le Tableau ci-dessous :

Posons, comme nous l'avons fait antérieurement,

x^ — e, HNj = 9 et N^=rw;

nous aurons

Cela posé, la Trigonométrie spliérique nous donnera aisément, par une application répétée de la formule fondamentale,

Il a. -— cos 0 cos w — sin Q sin co cos 9 [3 = sin 0 cos w + cos B sin w cos 9 y =: sin co sin 9

a = — cos 9 sin w — sin 0 cos 00 cos 9 [3' ^= — sin 9 sin oj - h cos B cos w cos 9

y' rr: COS 6) si 09

=: sin 9 sin 9 = — cos 9 sin 9 ,

r= COS 9

On a d'ailleurs les relations bien connues

a2 H pî + y2 zz: I I oLa' + |3^' + y-/' — o, oc'2 + [3'2 -H y'2 = , aa" + [3;3" + yy" = o, a"2-4-[3"2-t-y"2=i I a'a"+[3'[3" + y'y"=r:o;

a"=(3y'-y;3', (3"=ya'— ay', y"==a[3'— i33c'.

Il nous faut calculer les dérivées partielles de nos neuf cosinus par rapport à 0, 9 et (o; on trouve aisément, en partant des formules (8), les valeurs suivantes :

ÔB

de

ÔB

= + a, -jfl- =-h a'.

dy

dB ÔB "~

CHAPI