TRE X
dcx. ,, .
-;— =r a sinw, (?9
-r- = «"COSCO,
^=|3'si„a,,
f = P"eos.,
ày'
do '
da ,
doc'
ày-y
ày'- y
Soient ^, y], o les coordonnées de la planète par rapport aux nouveaux axes; on aura
(i4) ûc=<x^ + cc'-f], 7 =: (3| + j3'r), z=yl-hy'n;
d'où
(.5) œ' = ocl' + a' n' , / = ^l' -t^'f]', z' = y^' + y' n' ,
en faisant
Les formules du n" 31 deviennent, en y remplaçant — ni par x, (i6) nnz— , ^:=:y/fpi, « — esin ar=/ii+ x;
(17) ^=:a{cosu — e), rî =r « y/i — e- sina;
on en tire
du n
dt I — e cos a
1 — ecosa I — ecosa
Les formules (i4)> (i5), (16), (17), (18) et (8) donnent, comme on voit, les
VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LÂGRANGE. l8l
expressions de x,y, z; x' , y', z' , en fonction de t et des six éléments
67. Il nous faut maintenant calculer les quinze quantités [a, b] par la formule (5) en prenant successivement pour a Qi b deux quelconques des éléments (19) :
[9, a], [9, e], [5, x]; [w, «], [co, e], [œ, x]; [?,«], [9, e], [9, x].
Soient K et L deux éléments du premier groupe (0, w, cp) : on aura
„ ^ -, dx doc' dx dx'
on a d'ailleurs, par les formules (i4) et(i5), en remarquant que i, y], ^', yj'sont indépendants de ô, co, cp,
dx j. dot. dot! dx ^ dot. dot!
dK~^dK'^'^'dK.' 'dL~^'dL'^'^ dh'
dx' >, (?3C , dot! dx' j, <?oc , dot!
ôK^'^M'^'^ M' 'dL^^dh'^'^dL'
d'où, en substituant dans [K, L],
ri^ T T /ï / ils ( àc(. dot.' doc da'
mais on a
(20) ^-r)'— r)|' = | 'Tt ~'^'^'i ~^^^\'^ — e^ — k\Ja{\ — e^);
il vient donc
Soient, en second lieu, K un élément du premier groupe et P un élément du second {a, e, x); a, p, y» »', P', y' sont indépendants de P : on trouve aisément
les formules suivantes :
P„ p^ d^ djc' dx dx'
[K,P]=: ^|+^j(^a^+a'^j-(^^'^+V^j(«^-Ha'^j
- y- dY^^"" d}L^^ dY^)^ d^ ^ (?P ^ V àY. ^^ d\^^^ dY.) X" dP "^ dP
~^V âK^^^ ^KA^dP ~^ dPJ Or on tire de (9)
il viendra donc
[K,P]-^a — + {3 ^+/ ^J[i—-l — „ + o — J OU
ou bien encore, à cause de la formule (20),
(II) [K,P].A^a ^+P ^4-y ^J ^^p
Soient enfin P et Q deux éléments du second groupe; nous aurons
j- p ç.^ dx dx' dx dx'
L* > '-^J ~ ^ jQ - ^Q -^ +• • •
/ dl ^ ,dn\[ dl' ^ , dn'\ ( dl ^ ,d-n\[ dl' ^ , dn'
-{ce 4-p +y )(^^p ^Q-^^ dP)^^'' ^^ ^^ ^[dP dQ dQ dP -H (aa +^|3'-Hyy ) (^^ ~^^ -__ + ^ ^ j;
d'où, en vertu des relations (9),
MTT^ rp m - i? ^ il ^i' -;. ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ' ^-' " dP ÔQ dQ dP dP âQ dO dP'
Il ne reste plus qu'à appliquer les formules (I), (II) et (III).
68. Faisons d'abord K = 6, L = (o, dans la formule (I), et tenons compte des relations (11) et (i3); nous trouverons
[9, w] = na^ \/i — e^ ((3a + [3'a' — a(3 - a'(3') = o;
en posant, dans la même formule (I), K= 0, L = 9, et ayant égard aux relations (i i) et (12), il vient
[9, 9] = na^ sjT^^^ j (a|3" — (3a") cosw + (^'a"— a'(3")sinco }
ou, en vertu de (8) et (10),
[5, 9] =: na^s/y — e^( — y' cosw — y sinw) =— na^sj \ — e^ sintp.
Enfin la formule (I) donne, pour K = co et L = 9, en se reportant aux relations (9), (12) et (i3),
[co, 9] = naVT^2 1(^/^// , |3/j3"^ y'y'/) COSCO+ (aa"4- (3(3"4- y/)sinco j = 0.
Passons à la formule (II) dans laquelle nous supposerons d'abord P = x, ce qui nous donnera
il en résulte donc
Si maintenant nous faisons P = «, ce qui entraîne
* Ta = ^7^=^'"'^'-^'
nous trouverons
d'où, en donnant successivement à K les valeurs 0, co, (p et ayant égard aux re-
l84 CHAPITRE X.
lations (8), ..., (i3),
[9, a] = i/iav/i— e^(a'a"+[3'(3"^-y'/')sinco=:o. Pour P = e, nous aurons
k^^''^l-'"^=-k^â-J^^.-na^- e
âe V'i— e^ ' v^i— «2
et la formule (II) devient
en comparant cette formule à celle qui donnait, il n'y a qu'un moment, la valeur de [K, a], il vient
il n'y a plus qu'à faire successivement K = Ô, K = w, K = «p, et à remplacer [0, a], [(0, «], [9, a] par leurs valeurs ci-dessus ; on trouvera ainsi
[ô, e] r=— no} -— r= COS9, V I — e'
[o, ej :r= — na-
sji — e"- [9, e] = o.
Nous arrivons enfin à l'application de la formule (111).
Pour faciliter le calcul, nous donnerons à / la valeur particulière
qui annule m; cette valeur est fonction de a et x; on ne devra donc faire i = T qu'après avoir effectué les différentiations relatives à « et x; on pourra calculer les dérivées relatives à e après avoir fait z = t. En prenant Q = e, la formule (III) donne
VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l85
les formules (17) et (i8) donnent
on en tire
dl d-n
dl' dri' na i
pour f = T ;
de ' de Ji g2 X — e
et la formule (21) devient
les relations (17) et (18), différentiées par rapport à P, donnent, en faisant ensuite t = 'Z, u = o.
d^~ i-e\dPJt=^
dP
après quoi nous trouvons, par la formule (22),
r„ -, na- f du\ na- f di(\
on en tire donc
Reste seulement à trouver [a, x]; la formule (ÏII) donne
^ ' (?a dx dy. da da dx. <?x (?a
En partant de (16), (17), (18), dilférentiant par rapport à x, et faisant ensuite / = T, on trouve aisément
du I
i86 et
ai) /i + g
dï]'
l'expression ci-dessus de [a, x] donne donc
r -, na dX / 1 -{-e d-n'
Différentions ensuite (17) et (18) par rapport à «, faisons ^ = t, et nous trouverons
da
' V''' — e- dna I \ + e \j a , A
; I — e da V ' — e da ^ y ^
en substituant dans (23) et réduisant, il vient enfin
na.
69. Nous pouvons actuellement écrire ce que deviennent les équations (6) dans le cas présent; nous aurons
^ de r T dy. r ^ do r ^ d(j) r r^-, d9 „
d'où, en remplaçant les quantités \a,e\, ... par leurs valeurs trouvées ci-dessus,
' w% t d''^ , I î d(^ , I ; dB
Ra — k^<^—j \ na \J \ ~ e^ -^ — \na\' i — e^ cos cp — = o,
dt
na^e doi «a^ecoscp dO
Re + . -77 H , ^ 777 = 0>
Ofi
Rx 4- i na ^j7 = o,
da dt
, , / ; da /la'ecoscp de „ , r . do
Ro + inav/i — e*C0S9 -7 -3 /la-y/i — e'' sin9 -77 = o,
dt Ji g2 dt
de
dt
Rç -H na^ \/i — e- sin <p -^ = o,
, , / -da nà^e de
R„-l->ay/i-e'^--^==.^=o.
On tire de ces six équations, en les résolvant par rapport aux dérivées les formules suivantes :
da 'di
da 'di
de 'di
~di
dB dt
d(j) 'di
di
lia 1 — e
Rx,
na''e na'-e
««2 \J \ — e- sintp
, COS9 «a^y/i — é^ sincp
/ia^\/i — e^sin<p na^\Ji — e^ sincp
i— Re H J^a'
na'-e na
La comparaison de formules (a) et (a) montre que l'on a, dans le cas actuel,
X'=o, Y'=ro, Z'=o;
(4) donne ensuite
"'~' dx da dy da dz da
dz
da''
les formules (d) pourront donc s'écrire comme il suit :
da ~di
de ~di
ddf "di
M dt
du) 'di
dl
na d/. '
i — e^ dR y/i — e^ dR na-e d/. na^e dw '
dR
dR
/?a- \/i — e* sin9 ^^ na^ y'i — e^ sin<jp ^^^
I dR
na^ y/ 1 — e'^ sincp ^9
costp dR \l\ — e- dR
nd^e de na da
l88 CHAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE.
Si l'on introduit enfin au lieu de o) et x les éléments gï et £ par les formules
on verra aisément que les formules (e) sont identiques aux formules (h) du n<> 62.
Il convient de remarquer que les formules (d) s'appliqueraient encore au cas où X, Y, Z ne seraient pas les dérivées partielles d'une même fonction de x, y, z et t; X, Y, Z pourraient même contenir œ', y', z' ; seulement R^ ourait alors pour valeur
R« = X^+Yf>:-f-Z^.
aa oa oa
Cela se présente quand on veut tenir compte de l'influence de la résistance d'un milieu sur les mouvements des planètes.
