CHAPITRE XI. — CONSIDÉRATIONS SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. - PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. — PERTURRATIONS DU PREMIER ORDRE. - INÉGALITÉS PÉRIODIQUES. - INÉGALITÉS SÉCULAIRES. - INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES. ~ PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE.
70. Pour connaître le mouvement de la planète P, il suffit d'obtenir en fonction du temps ses coordonnées rectangulaires héliocentriques oo,y, z.
En suivant la méthode de la variation des constantes arbitraires, nous avons transformé le problème et introduit, au lieu des trois inconnues x, y, z, six variables auxiliaires a, e, ç, 0, xs, £. Les relations qui lient l'un à l'autre les deux systèmes sont (n° 32)
— ) u — esmw = n^4-£
/• r= a(i — ecos«); tang — V/ lang-5
X = /-[cos9cos(^' — Q) — sinô sin(t^ — 0) costp],
j = /'[sinQ cos((^ — Q) -\- cos9sin(r — 0) coscp],
5=/'sin(p — 0)sin«p.
Il convient d'ajouter que les valeurs de -^> 'di^^'TL s'obtiennent en différen-
tiantles formules précédentes par rapport au temps, sans faire varier a, e, ...,£. Nous savons, d'après le n° 62, que les variables nouvelles doivent vérifier les
équations
da 'di
M dt
drs ~dï
de 'di
ddf 'dt
na de
1 dR
na^\J i — e^ sincp ^?
^^"^ ïï dK v^^'^^ àR --—-^ — . -1- I
„«yi e2 ^9 na'e de
na^ e dm
'y/i — e^ sin9
dR
jia^e
e^dK de
^'"^. /dR ÔR
na\i\ — e'' \à^ de
dz 1 dR
dR I 5 I — v/T-^ dR
na da ' na^sJ \ e* <^9 na*e (?e
On a d'ailleurs
^', y, 5'; a?", ... désignant les coordonnées des planètes P',P", ..., Q{m' ,m", ... les rapports de leurs masses à celles du Soleil.
Si l'on remplace x, y, z par leurs valeurs (i), x', y' , z', ... par leurs valeurs analogues, R deviendra une fonction connue du temps t et des éléments a, G, ... a', 6', ... des diverses planètes, et les diverses parties de R contiendront en facteur l'une ou l'autre des petites fractions m', m", . . . que nous regarderons, ainsi que m, comme de petites quantités du premier ordre.
Les formules (2) montrent que, au moins pendant un intervalle de temps limité, les éléments a, 0, ... varieront entre des limites assez resserrées ; il en sera de même de a'. G', ... ; on pourra, par suite, dans une première approximation, considérer les éléments comme constants dans les seconds membres des équations (2), et l'on obtiendra des valeurs très approchées de a, G, ... par des quadratures.
C'est là l'avantage que l'on trouve à remplacer les trois équations différentielles du second ordre en x,y, z par les six équations différentielles (2) du premier ordre, bien que ces dernières soient assez compliquées, parce que R est loin d'être une fonction simple de ^ et de «, 0, . . . .
En opérant comme nous venons de l'indiquer, il est toutefois utile d'éviter un grave inconvénient que nous allons signaler. Il sera démontré, dans le cours
