CONSIDÉRATIONS SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. 19I
de ce Volume, que la fonction perturbatrice R peut en général être développée en une série convergente de la forme
(4) R=^CcosD,
où l'on a
(5) T)—i{nt-\-B)^i'{ii't-\-E')-\-kT;5-^k'x^s'-\-jQ+jB';
i, i' , k^ k',j elj' sont des nombres entiers quelconques, positifs, nuls ou négatifs. Les coefficients C sont des fonctions de a, a! , e, e' , cp et o' , qui diminuent en général assez rapidement quand les valeurs absolues des nombres entiers i, i' y k, k' , j, f augmentent.
Dans l'expression (4) devraient figurer aussi des termes analogues à ceux que nous avons mis en évidence, et dans lesquels n' , £', ... seraient remplacés par
n" , £", On voit bien ainsi de quelle manière entrent les divers éléments des
planètes P, P', P", . . . dans le développement de R.
Les dérivées partielles de R par rapport à l'un quelconque des cinq éléments e, cp, 6, rar, £ seront exprimées par des développements de même forme que (4), sauf que les cosinus pourront être remplacés par des sinus.
Il en va tout autrement de la sixième dérivée partielle -. ; elle se compose, en effet, de deux parties : la première, que nous représenterons par [-f-\ s'obtient
en faisant varier a seulement dans les coefficients C; la seconde provient de la variation de a dans n sous les signes cosinus. D'après la formule (5), les arguments D dépendent à^n, par suite de a, d'après la relation
li^a^zzi f(i H- /?i).
On aura donc
^/^\ dKdn dn \ôa ) dn da
ou bien, en remarquant que n n'entre dans R que par nt qui accompagne toujours £,
da \da J as da
On trouvera ainsi, en se reportant aux formules (4) et (5), <?R v^ ôil ^ dn
On voit que le temps l est sorti des signes cosinus; de là un grave inconvé-
de dt'
ds nient que présenterait l'emploi de la valeur (2) de -r^ la seule des six dérivées
des éléments qui contienne j-- Malgré la petitesse du facteur m' qui entre dans
le coefficient C, le terme G^ sinD pourrait prendre des valeurs très grandes, et serait gênant de toutes façons. Voilà l'inconvénient dont on a parlé; on l'évite comme il suit :
Si l'on a égard à la valeur (6) de -pj la dernière des formules (2) donne, en
de do
de 2 /dR\ dt na\da J
2 ()R dn na dz da
Or on a
dn dn da 2 d]\ dn
dt da dt na ds da
ce qui permet d'écrire comme il suit l'équation (7),
de dn 1 [ dVC\
dt dt na \da j
On est ainsi conduit à prendre, au lieu de £, un nouvel élément é^\ tel que l'on ait
dt^^^ dz dn
^^^ ~dr -'dt^^'dt'
On trouvera immédiatement, en écrivant maintenant les termes en -r- et -^5
de acp
dt na\da J nà^J i e" ^9 na-e de
Or on tire de (8)
e^'^ t= £ + / t -^ dt r=^ z -\- nt — I ndC,
(10) nt-{- £^= I ndt -\- e^^K
On voit donc que le changement de variable sera bien facile à faire, puisqu'il se bornera à remplacer dans les expressions (i) de a;, y, z, nt + z = l par
I ndi -h i^^K La formule (10) montre d'ailleurs que l'on aura
dR dR
dz ~ a£("'
PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. ig3
Si l'on remplace dans la première, la quatrième et la cinquième des formules (2), -v-par-^-^) et si on les rapproche ensuite de (9), on voit que les nouvelles équations différentielles ne différeront des anciennes qu'en ce que £ et -^ auront été remplacés respectivement par e^" et (-t-)- Il convient, pour ne pas multiplier les notations, de supprimer l'indice de £^'' et la parenthèse de (-3^); cela permettra de conserver les équations (2) sous leur première forme. Seulement il sera bien entendu que la dérivée -r- y devra être prise sans faire varier a sous les signes cosinus, et que, dans les formules (i), qui donnent 07, j, z, nt -i- 1 devra être remplacé par ndt -i- z.
Nous ferons, pour abréger,
ndt=zp, d'où n=-j-;
quand n sera connu, en effectuant la quadrature j ndt, nous n'ajouterons pas de constante d'intégration, parce qu'elle irait se fondre avec £ qui accompagne toujours 71 dt. Enfin nous ferons remarquer qu'ici, comme partout ailleurs, la
lettre /z n'a d'autre sens que celui qui est défini par la formule /^ = i/ ^^^."^\ de sorte que l'on a
Pour déterminer le mouvement de la planète P', il y a lieu de considérer des équations toutes pareilles à (2), qu'on obtiendra en accentuant les lettres, et mettant au lieu de R la fonction perturbatrice R'. On devra former la dérivée
-T-f sans faire varier a' sous les signes cosinus; mais, dans les formules qui donnent a?', y, z' en fonction de t, a, 0', ..., il faudra remplacer n't + t' par jn'dt-hi'; nous poserons aussi jn'dt = p\ La considération des équations
différentielles en -j-, -j--, •• • est indispensable, même pour déterminer le mouvement de la planète P, quand on va au delà de la première approximation.
71. Pour fixer les idées, ne considérons que deux planètes P et P'; nous aurons à intégrer par approximations successives le système des douze équations T. — I. 25
différentielles simultanées suivantes :
i da 2 dK
I dt lia de
(II) \^ I àR
di na-\li — e'sincp ^9
I da^ 2 ^ 1 dt ~~ n' a' de'
(12) N^' I àW
I (it «'a'2y/i— e'^sin9' ^9''
OÙ l'on a
(i3) \ B = i{p-{-e)-hi'{p' + £')-hkvs + k'vs'-hj9-i-j'9',
p =z I ndt, p'= / fi'dt;
R'=:2]C'cosD';
C et D' sont de même forme que G et D.
Nous avons déjà fait observer que les seconds membres des équations (ii) et (12) sont de petites quantités du premier ordre, à cause des facteurs m' et m qui entrent dans les coefficients G et G'.
Nous allons cbercher à développer les expressions des éléments variables sous la forme
a = «0 + (5i flo + ^î'^o + • . • >
tto, Oo, . . . , «0, 0'^,, . . . sont douze constantes arbitraires dont on trouvera les valeurs numériques en comparant la théorie à l'observation; les quantités représentées d'une manière générale par la caractéristique S/ sont des fonctions inconnues du temps t, des constantes ci-dessus et des masses m et m'; relativement à ces masses, tous les S/ seront de l'ordre i; ceux des 0, qui se rapportent à la planète P devront s'annuler avec m', et contenir m' en facteur, tandis que pour la planète P' ils auront le facteur m.
PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. IqS
On mettra ainsi en évidence les quantités S, a,,» §2^0» • • •> ou les perturbations du premier ordre, du second ordre, etc., de l'élément a, et de même pour les autres éléments.
Il s'agit de calculer ces perturbations des divers ordres. Nous poserons aussi
et nous prendrons
En substituant les valeurs (i4) et (i5) de a et n dans la relation
il viendra
di «0 , O2 ao
d'où, en égalant de part et d'autre les quantités de même ordre,
. 3 diOo
2 an
< . r 3 §^ao i5 /âi«o\n
On posera ensuite
(18) p^—riot, dipQ=: j din^dt, dipo— j d^n^dt,
et la formule p = j ndt combinée avec la relation (r5) donnera
p = Po+'5ipo+ ^2po + - • • ;
s, po sera du premier ordre, §2po du second, etc. On aura des formules toutes pareilles pour la planète P'.
Il faut substituer dans les équations différentielles (11) et (12) les expressions (i4)» (i5) et (19).
igS CHAPITRE XI.
72. Perturbations du premier ordre. ~ Pour commencer, nous allons faire la substitution indiquée, en ne considérant que les quantités du premier ordre, et négligeant celles du second. On pourra donc, dans les seconds membres des équations (i i) et (12) qui sont déjà du premier ordre, remplacer a, ô, . . . , a', 0', ... par «0» ^0» • • •' ^0' ^o> •••' et aussi p et p'par n^^t ein^t. On trouvera ainsi
(20) Ro^^CoCosDo,
(21) Do=i(«o< + eo) + i'(<< + £o) + ^'Cîo+A''CT;+y(5o +./■(?;,
dt /lotto d£o dè^dp I ÔR^
Les seconds membres de ces formules sont des fonctions connues de^; on aura donc
ô,ao = / -—■ dt,
n^al s/ 1 — el sin(f>,
On est ainsi ramené à des quadratures; il est inutile d'ajouter des constantes
qui, dans les expressions (i4) de a, 6, . . . , iraient se fondre avec «o» ^o» Au
point de vue analytique, toutes ces quadratures dépendent d'une seule,
/Ro</^; car on a, par exemple,
On aura de même
. , 2 rôR' ,
(«') { . a> ^ ' rdiv
,,0',^ -J= f'-^dt,
n' a'^ \J I — é^ sin cp' J ^?o
Ro et R„ sont des fonctions très compliquées du temps t et des constantes «0» Oo, ...; de telle sorte qu'il ne faut pas songer à effectuer rigoureusement les quadratures qui figurent dans les formules (a) et {a').
On pourrait bien avoir recours aux quadratures mécaniques; c'est ce qu'on
