INÉGALITÉS PÉRIODIQUES. I

fait le plus souvent dans la pratique, pour les astéroïdes et les comètes. Mais on n'obtient ainsi que les valeurs numériques des perturbations, sans rien connaître des lois analytiques qui les régissent. De plus, quand on cherche les perturbations pour une seule époque très éloignée, on est obligé de les calculer pour un nombre considérable d'époques intermédiaires.

Aussi préfère-t-on, dans les théories des anciennes planètes, décomposer la fonction Ro en une série de termes tels que l'effet de chacun d'eux, dans les formules («), puisse être déterminé analytiquement; la série (20) remplit ces conditions. On trouve, en effet, en tenant compte de l'expression (21) de Do et en ayant égard à la façon dont les quantités Sq, 90, • • • entrent dans les coefficients Co et dans les arguments Do,

cosDo,

Les formules (a) donnent ensuite

1 d,ao — 7 iCo I sinDoû?^,

^1 6, = — ^ — • y (^ fcosDo dt) ,

On voit sans peine que les seconds membres dos quatre équations qui n'ont pas été écrites ne contiennent non plus que les quadratures

I sinDodt et j cosDodt.

Or, en se reportant à l'expression (21) de Do, on trouve

cosDo /* ^ ,. sinDf

/. T^ , cosDo r T, j.

smDodt = — -. ^, » I cosDodù =

ITIq 4- l îlf

Il vient ainsi

iCoCOsDo

ifio H- in.

(b) l ^— sinDo

On voit que chaque terme CoCOsDq du développement de Ro donne naissance à des termes correspondants, ou, pour employer le langage des astronomes, à des inégalités correspondantes dans les expressions des divers éléments. Ces inégalités sont en général /»mW/^Me^ comme les termes de Ro d'où elles dérivent; celles que l'on a mises en évidence dans les formules {b) ont pour période la période même de l'argument Do, savoir

Si l'on pose

on pourra écrire

iHn + l' n.

lo — — y ^o^^~~r*

Les nombres entiers i et i' ont en général des valeurs peu considérables, parce que, dans la formule (20), les coefficients Co diminuent assez rapidement quand i et i' augmentent. La période T, sera donc comparable aux durées des révolutions To, T,, de deux planètes fictives peu éloignées des planètes réelles.

73. Inégalités séculaires. — Les formules (b) sont en défaut quand on a

i/io -+- i' «0 = o ;

cela arrivera d'abord si les nombres i eii' sont nuls tous les deux, cas que nous allons considérer immédiatement.

Nous envisageons donc, dans le développement (4) de R, les termes qui sont indépendants des longitudes moyennes /et /'; pour ces termes, t disparaît de Texpression (21) de Do qui doit dès lors être traité comme une constante ; on aura

Do = A:cîo-+- Ar'nr; +y ^0 +y'^o> / sinDo dt=: <sinDo, / cosDo^^ = ^cosDo.

Si l'on porte ces valeurs dans les formules (22), et qu'on y fasse i = o, il viendra

' àX = -^ : y ^ cosDo,

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