INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES

Le signe ^ ne porte plus maintenant que sur les indices k, k',jetj'.

Les termes que l'on vient de considérer dans R introduisent donc dans l'élément 9 des parties proportionnelles au temps, et il est très aisé de voir qu'il en est de même pour les éléments e, cp, «, £. Ce sont là les inégalités séculaires de ces cinq éléments. Les termes de R qui les produisent sont appelés par extension termes séculaires.

Les inégalités séculaires, variant constamment dans le même sens, acquièrent une importance capitale quand on envisage deux états du système solaire séparés par un intervalle de temps considérable, formé d'un nombre plus ou moins grand de siècles; elles modifient son aspect d'une manière très sensible; tandis que les inégalités périodiques, au bout de l'intervalle en question, se compensent en partie, ou du moins restent comprises entre les mêmes limites.

Il importe de remarquer que, dans la première approximation, les grands axes des orbites n ont pas d' inégalités séculaires ; c'est ce que montre la première des

formules (c). On voit que cela tient à ce que l'expression (2) de ^>

da 2 <?R

dt na de

ne contient que-r-j quantité qui se réduit à zéro, pour i= i'=o', les cinq

autres dérivées partielles -^, -^ -, -7-) -tt,-> -^- ne se réduisent pas a zéro dans * da de 00 Oy Oth ^

les mêmes conditions, et l'une au moins de ces dérivées partielles figure dans

, . . . ^ de d(p d9 dm . de

les expressions (2) de -j-} -—■> -7-, -7- et -rr

^ ^ -^ dt dt dt dt dt

Le moyen mouvement n n'a pas non plus d'inégalité séculaire; c'est une conséquence de la première des formules (17),

(28) ôi/ÎQ = n

3 ô,ao

2 ^ ttc,

qui donne §, «0 = o> quand on suppose S,«o =0.

L'absence d'inégalités séculaires dans les expressions de a et n, dans la première approximation, constitue le Théorème de V invariabilité des grands axes et des moyens mouvements, théorème fondamental que nous aurons occasion de compléter, et qui sert de base aux théories des mouvements des planètes.

74. Inégalités à longues périodes. — Il nous reste à examiner ce qui arrive lorsque l'équation

(24) fVjo+*'"'o=0

est vérifiée sans que î et i' soient nuls; on aurait donc dans ce cas

c'est-à-dire que le rapport des moyens mouvements n^ et rî^ serait rigoureusement commensurable. Les valeurs de jIq et n^y qui sont liées à a^ ^id^ par la formule (i6) et sa correspondante, doivent être tirées des observations ; les valeurs numériques ainsi obtenues ne sont exactement commensurables pour aucune combinaison des planètes prises deux à deux. Mais il y a en revanche un assez grand nombre de commensurabilités approchées. Ainsi, il arrive fréquemment que, pour des valeurs entières convenables des indices i et i', en général peu considérables, la quantité in^-^-i'rî^ est petite par rapport à n^ et n'^, de sorte que la condition (24) est vérifiée approximativement.

Si l'on considère les termes du développement de R pour lesquels «et i' ont ces valeurs particulières, les inégalités périodiques des éléments, calculées par les formules {b), pourront être très sensibles, en raison du petit diviseur mo + ^' ^0 qui figure dans ces formules.

La période T, = -. ^-r de ces inégalités sera très grande par rapport à

0 = — et 1,, = — j car on aura

To /f/îo+f'/io\ T'o

Ces inégalités, qui sont en quelque sorte intermédiaires entre les inégalités séculaires et les inégalités périodiques ordinaires, ont reçu le nom à'inégalités à longues périodes; elles jouent dans notre système planétaire un rôle très important.

C'est surtout dans l'expression de la longitude moyenne que ces inégalités sont très sensibles. On a en efi*et

/=:p + e 4-. , . ; d'où

Or les formules (18) et (23) donnent

âipo = — - TT I ^i<^odtf 2 "0 1/