Considérons l'expression

dans laquelle E désigne la base des logarithmes népériens, x ei z deux quantités quelconques réelles ou imaginaires (nous supposerons néanmoins dans ce qui suit se réel); cette fonction peut être développée en une série convergente suivant les.puissances positives et négatives de z. On a, en effet,

E*" est développable en série convergente suivant les puissances de -s et E '"

l'est aussi suivant les puissances de —^ en exceptant toutefois le cas où le module de z serait égal à zéro; on aura

on en conclura

a=oc B=r»

Nous ferons

(I) eH="U 2 J^(^)^'',

c'est-à-dire

Nous allons chercher les expressions générales et les propriétés principales des fonctions J,(.ir) qui sont les fonctions de Bessel.

L'expression (i) ne change pas quand on remplace z par — -; nous aurons donc

— J, (^)^-» + J2 (^)j-2 — ...4-(— i)'J,- (^)s-' + .:*. La comparaison de ces deux expressions de Z donne

J l(^)— — Ji(^), J,(-^)rrz J2(^), ...,

(II) J,(.r) = (i)'J,(^).

On peut donc se borner au cas où l'indice i est positif.

Si, dans la formule (2), nous faisons a = [3 h- î, de manière que l'exposant de z soit égal à i, nous trouverons pour le coefficient de z^ dans Z, c'est-à-dire pour J,(a7), l'expression suivante

i+it

,(3.i.2...(i + [3)' d'où