III
On conclut de (II) et (III)
La série qui figure dans l'expression de h(^) est convergente; car, si l'on considère les deux termes consécutifs (— lYup et (— i)^"^* Wy,+i, on a
(/> + i)(/^-»-i'-Hi)'
et ce rapport tend vers zéro quand p croît indéfiniment. La convergence sera d'autant plus rapide que x sera plus petit et i plus grand; si œ est considéré comme une petite quantité du premier ordre, J,(^) sera de l'ordre i.
Les fonctions J/(ic) avaient été considérées avant Bessel par Fourier dans sa Théorie de la chaleur; aussi leur donne-t-on souvent le nom àe fonctions de Fourier-Bessel.
L'équation (I) peut s'écrire, en tenant compte de (II),
faisons, dans cette formule,
il viendra
E.rv'~i»in? — j^(^) 4- 2J2(j^-)cos29 + 2j4(.r)cos49 + . . .
+ sj—i- [2Ji(^) sinq) 4- 2J3(a^') siiiScp + . . .].
Supposons ^ et o réels; nous aurons, en égalant dans les deux membres de l'équation ci-dessus les parties réelles et les coefficients de ^ ~ i ,
(IV
cos(^sin9) = Jo(^) -H 2J2(j:) COS29 + 2i!,{x) cos49 -\- . sin (jrsin9) = 2Ji(^)sin9 4- 2 J3(:r;) sin 89 +.
On voit donc que les fonctions de Bessel permettent de développer en séries
sin
périodiques les expressions {xûn^)
En changeant cp en ç + -? il vient
(IV
cos(j7COS9) =: Jo(x) — 23.2(0;) COS29 + 214(0?) cos49 — sin ( a? CGS 9 ) =: 2Ji(a;) COS9 — 2,1-^(0;) cos,3o -+-
78. Entre trois fonctions consécutives J/,(a:), J,(^), J/+,(a7), il existe une relation très simple que nous obtiendrons en différentiant l'équation (I) par rapport à z, ce qui nous donnera
ou bien
d'où, en égalant dans les deux membres les coefficients de z'~*,
c'est la relation cherchée.
SoitT une quantité quelconque; on a
ou bien, à cause de la relation (V),
i= — ec
cette formule a été employée par Cauchy dans un de ses Mémoires.
La relation (V) est utile surtout pour les déterminations numériques. Supposons qu'on veuille calculer Jo(a7), J< (ce), i.,(x), ..., J/(a;), x ayant une valeur connue; on calculera directement Jp et J, par les séries (III); la relation (V) donnera de proche en proche J^, J3, ..-, J/, mais avec une précision qui ira en diminuant à mesure qu'on s'éloignera du point de départ. On vérifiera J^ en le calculant directement par la série (III).
Toutefois, il vaut mieux avoir recours au procédé suivant :
Posons
(4) Pi = Y^ Pi — Y' •••' Pi—-\ — ' Pi+i=-T-> • 'î
•'0 Jl 'f i-l •'/
nous en tirons
3, = h-PlPi- • -Pi-
On est donc ramené, d'une part, au calcul de Jo par la série (111); d'autre part, au calcul de /?, , /?2 , '",pr La relation (V) peut s'écrire
ou bien
" Pi
+ pi-i-l ,
d'où l'on
tire
successivement
pi-
— Pi+l
Pi+\ -
Pi+i
On aura donc ce développement de/?, en fraction continue
(8) P^^Vi '' F
On calculera/), par cette formule. L'équation (G) donnera ensuite, pour le calcul de />/,, •••. /^M
Pi-x
l-'iy
— Pi-X
— Pi-
Px
Voici donc l'ensemble du calcul :
On détermine directement J» et J, par les séries (IH), p^ par la fraction continue (8), pi^t, pi^^i, •••»/?( pai' les formules (9), J,, L, •..,h par les relations (5); la valeur trouvée ainsi pour J/ devra coïncider, dans les limites de la précision cherchée, avec la valeur obtenue directement. S'il en est ainsi, tout le calcul se trouvera vérifié.
La fraction continue (8) se calculera elle-même par cet ensemble de formules
Pi+j
Pi+J-I
z. Pi+J
Pi = — >
Pi+l
OÙ le nombre y aura généralement une valeur peu considérable, telle que i, 2, 3, et que l'on détermine rapidement par tâtonnements : le calcul est plus facile quand on a recours aux Tables de logarithmes d'addition.
Dans son Mémoire sur la déterniinalion des perturbations absolues dans les ellipses d'une excentricité et d'une inclinaison quelconques, Hansen a calculé des Tables numériques donnant avec six décimales les valeurs de Jo et J, ; l'argument
est -; il varie de o à 10, en augmentant chaque fois de la quantité constante o,o5.
Dans le Tome I des Mémoires de Bessel, publiés par Engelmann, on trouve, p. io3, des Tables donnant avec dix décimales les valeurs des fonctions Jo et J, : l'argument est x; il varie de centième en centième, depuis o jusqu'à 3, 2.
On pourra évidemment faire usage de ces Tables pour déterminer Jq dans le procédé de calcul indiqué plus haut.
79. On peut exprimer la dérivée de h{^) en fonction de J/+, {x) et de J/, (x) ; il suffit, pour y arriver, de dilfércntier l'équation (I) par rapport à x, ce qui donne
en égalant dans les deux, membres de celte équation les cocflicients de z\ il
vient
(VI) ^^^-J[J.-i(^)-J.-..(^)].
On tire de là
dx- 2 L d-v dx J
OU bien, en remplaçant les deux dérivées premières par leurs valeurs conclues de (VI),
Or on tire de la relation (V)
(i + i)Ji+i(^) = -\ii+<i{x)'^'Si{x)'\,
d'où
ou bien, à cause de (V) et (VI),
-r-'Si{x) — 2 '- — -[J,+2(^) — lii{x) + J,2(J7)] + ixii{x)\
»X- CIJC 2
en combinant cette équation avec l'équation (lo), on trouve enfin
cette équation difï'érentielle que vérifie la fonction J/(a7) est linéaire, du deuxième ordre, à coefficients variables et sans second membre; elle est très utile quand on veut faire une étude approfondie des fonctions de Besscl. Écrivons, comme il suit, la formule (I)
en changeant 5 en ^» il vient
TRANSCENDANTES DE BESSEL. 2l3
si nous multiplions ces équations membre à membre, nous obtenons une équation de la forme
qui, devant avoir lieu quel que soit z, nous fournit les relations
Ao=i, A/=o, A j=:o;
nous ne développerons que la première, qui nous donne
(VIII) l=J^(^-) + 2j^(^) + 2j^(^)+....
Cette formule curieuse montre que, x étant supposé réel, la valeur absolue de Jo(.3?) est plus petite que r, et que celle de chacune des fonctions suivantes
J,(.x'), J.,(r), ... est inférieure à — •
On pourrait vérifier la formule (VIII) en partant de l'expression suivante, à laquelle on arrive assez facilement pour le carré de la fonction ^i{x) :
