I.3...(2f — i) TiJ

C'est la seconde forme chercliée; elle a sur la première l'avantage de mettre en évidence le facteur x'; si x est considéré comme une petite quantité du premier ordre, }i{cv) sera de l'ordre i.

81. Théorème préliminaire. — Soit/('C) une fonction périodique de l, dont la période est 2-, qui reste finie pour toutes les valeurs de 'C; cette fonction est('), pour toutes les valeurs réelles de x, développable en série convergente comme il suit :

( /(Ç) = iAo+(AiCOsÇ4-B,sinÇ) + (Aj COS2Ç + B2sin2Ç) +. . . ( +(A,cosiCH-BjSiniC) H-

Les coefficients'A et B peuvent être exprimés par des intégrales définies; on a, en effet,

i /(OsiniÇt/Ç;

cette expression de A/ convient aussi pour i= o, si l'on a eu soin, comme nous l'avons f;iit, de mettre dans la formule (i) ^ A„ et non A„.

(1) Considérons une fonction quelconque de Ç, *(Ç), et portons notre attention sur les limites o et 2TC de Ç et sur les valeurs correspondantes de *(Oquo nous supposons finies. Le tliéorèmo de Fouricr et la démonstration do Lejeunc-Dirichlct nous apprennent que, dans cet intervalle, on peut toujours trouver un développement périodique convergent do la forme (1), c'est-à-dire

/(Ç)=:|AoH-(A, cosÇ-i- Bi sinO-^-- .+ (A,cos/'C + B,sin/j;) -f- • • ,

toi que, dans tout l'intervalle considéré, on ait /(C) = *(0, et ce développement est unique; la

2l6 CHAPITRE XIII.

On en conclut que le développement périodique (i) n'est possible que d'une seule manière.

Si la fonction/('Q est paire, les sinus doivent disparaître de la formule (i); on a, en effet, par hypothèse, pour toutes les valeurs de t,

en remplaçant/(Q et/(— t) par leurs valeurs déduites de la formule (i), supprimant les termes communs aux deux membres, il reste

o = B, sinÇ + B2 sin2Ç + . . . + B, sin^Ç -h ... ;

cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de '(; on peut appliquer la dernière des formules (2), en remplaçant sous le signe / la fonction /(^) par o; on trouve ainsi

Bi=:o, B2 = o, ... ;

donc, dans ce cas, le développement (i) se réduit à

(4) /(Ç)-:iAo4- A, COSÇ4-. . .-t- A,COSiÇ+

On conclut de la formule (3) la relation

/(27: -?)=/(?); on a, d'ailleurs,

ces/ (271 — Ç) = COSïÇ;

si donc on considère les valeurs de l'élément différentiel de la formule

A,= - j /(Ç)cos/Çr/Ç,

qui correspondent aux valeurs ^ et 27: — 'C, on voit que ces valeurs sont égales et de même signe, et l'on peut écrire

(5) *'=lp(^

C) C0SfÇ<r/C.

fonction *(0 peut môme ôtro discontinue. Mais, de 27: à 47:, de /[tz à 6tt, ...,/(Ç) reprendra les mêmes valeurs que l'on a obtenues de o à 9.71; tandis qu'en général 'i'(^) pourra j)rcndrc des valeurs n'ayant aucune espèce de rapport avec celles de ^(O pour Ç compris entre o et air. Il n'en est plus de même quand la fonction * est périodique et a la période 27r; les fonctions /(^ et *(0 coïncideront alors pour toutes les valeurs réelles de .r.

Si la fonction/(Q esiimpaire, on a, quel que soil t, (3') /(0-t-/(-Ç) = o;

d'où, en remplaçant /('C) et/(— 'C) par leurs valeurs tirées de la formule (i), et supprimant les termes qui se détruisent,

o— |Ao-+- Al C0SÇ4-. .+ kiCOsit,-h. . .;

Si donc on applique la première des formules (2) en y remplaçant/('C) par o,

il viendra

Ao = o, A,= o, ...,

et, dans ce cas, le développement (i) se réduit à

(4') /(Ç)=B,sinÇH-B2sin2Ç4-...;

on aura ensuite

/(27r — Ç) — — /(Ç), siiK"(2Tr — Ç) = — sin^'C,

et en groupant les éléments différentiels, comme on l'a fait plus haut, on verra que la seconde des formules (2) pourra s'écrire

(5') Bi=l f /(OsiniÇ^C.

82. Soient e l'excentricité de l'orbite d'une planète, excentricité qui sera comprise entre o et i ; 'C l'anomalie moyenne correspondante au temps quelconque t'^ u, w et ries valeurs de l'anomalie excentrique, de l'anomalie vraie et du rayon vecteur qui se rapportent à la même époque. On aura, comme on l'a vu au n" 32, l'équation

(6) u — esinu := Ç.

Soity un nombre entier positif : considérons la fonction

cosy«=/(Ç);

lorsque C augmente de 211, u augmente aussi de 271, et la fonction cosyw ne change pas ; cos, j'u est donc une fonction périodique de t dont la période est 211 ; d'ailleurs, cette fonction reste finie. On peut donc la développer sous la forme (i), et appliquer les formules (4) et (5), parce que/('C) est une fonction paire. Nous poserons

(«) cosy« — |/?î/'4-/?'/'cosC4-/>'2"cos2Ç-+-, . .-\-p^p C0S<Ç4-. . . ;

2lS CHAPITRE XIII.

la série sera convergente, quelle que soit la valeur de e entre o et i, et nous aurons

/cosj'ud^, (7) -p^J^= I cosyMCOSfÇc/Ç.

On tire de la formule (6)

dZ =(1 — e cosu)du; il en résulte d'abord

- p^J' z=: I cos Ju du — e I ces u cos j'u du ;

on en conclut que, siy est supérieur à i , on a

/>'/' = o; lorsquey = i, il vient

-/)[,"= — e I cos^uduzzz e.

d'où

La formule (7) peut s'écrire

— pl^' - J cos JU ^^ dK; en intégrant par parties, il vient

. .^d COS iu ,^

ou bien, en remarquant qu'aux limites o et tt de T répondent les mêmes limites de a,

' smi^s'iniudu.

Nous pouvons remplacer 'C par sa valeur (6), ce qui nous donnera

f 2 s\nju sin ( iu — ie sin u) du

OU bien

-r-/>/'= / cos[(/ — /) i<— /esinw] rf;< — / cos[(i + /)// — ie%\xiu\du.

§i l'on a égard à la formule (X) du n** 79, on voit qu'on peut écrire

\p'/^=-^it-j{ie)-h^j{ien, i Po^=o, pour ./> I,

On aura, en particulier, pour /= i,

(.1) - •T/-i(<^g) — J/+i(^'g) Pi — - >

cette expression peut être transformée au moyen de la formule (VI) du n*^ 79, qui donne, en y remplaçant œ par ie,

.h-i{ie) - J/4-i(«e) — -: J^ 'i il viendra donc

(e) ^' ~ i' de '

Considérons maintenant la fonction

siny«=/(Ç);

c'est une fonction périodique de C dont la période est au; cette fonction reste toujours finie, elle est du reste impaire; on pourra donc poser

(«') sinya=:(7*/'sinÇ -t- ^'/'sinaÇ-h . . . ^-ç'l^'sin^Ç + . . . ;

cette série sera convergente pour toutes les valeurs de e comprises entre o et r, et l'on aura, par la formule (5'),

-^^'= / sinyM siniÇû?C ou bien

d'où, en opérant comme précédemment,

cosiKcosju du,

—r q^p =1/2 cos j'u cos ( iu — ie sin u) du,

cos[(f — y) M — ie'&\x\.u'\du-\- 1 cos[{i -\-/) u — iesiau^du,

On aura, en particulier, poury = i,

cette expression peut être transformée au moyen de la formule (V) du n*^ 79, qui donne, en y remplaçant x par ie,

J,, (/e) + J,-^i ( ie) = - Ji{ie);

il viendra donc

(c') ^i.^'=|j,(te).

Remarque. — On tire des formules (a) et (/^), (a') et (b'), en supposant

{d) cos /M = y 2 [ J/-y ( «« ) — J <+y ( '^ ) ] ^— ^ j

( «?' ) siny M =y 2 [ J<-y ( '<^ ) + -ï'+y ( ^'^ ) ] ^^y- •

On peut écrire ces formules comme il suit {e) cosju=j 2^ h-j{i(-') — j- '

, ,. . . . -^^ sin/Ç

(e') sinya=r/ ^ J,y(«e)— ^,

OÙ l'indice i prend la série des valeurs entières positives et négatives, zéro étant excepté.

Pour le voir, il suffit de remarquer que l'on a

i.i-j{—ie)—ii+j{ie).

83. Nous pouvons appliquer ce qui précède au développement périodique du rayon vecteur r, dans le mouvement elliptique. On a

r =: a{\ — ecos w);

il suffit donc de remplacer cosw par son développement fourni par les formules (a) et (c); on trouvera ainsi

dii{ie) coSiÇ^ de i' '

en remplaçant

h{ie)

par son développement en

série

h{ie)

et faisant

/ieV

/iey

la formule (/) donnera

(B) i: =,! + !' y ccosiÇ.

Les formules (A) et (B) résolvent la question proposée; il est important de remarquer que, si l'excentricité e est considérée comme une petite quantité du premier ordre, le coefficient de cos TC dans le développement de r est de l'ordre i, et qu'il ne contient que les puissances «, i-\- 2, i-\- L\, ... de c.

Cherchons maintenant le développement de la diflerence w — ^ entre l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne; on a

« — Ç — e sin M

222 CHAPITRE XTII.

OU bien, en ayant égard aux formules {a') et (c'),

= 1 Posons

^ '' ' fI.2...fL !.(«■+ l)l.2(<-hl)(«4-2) I.2.3(f'+l)(«-|-2)(/4-3)~^""J

et nous aurons

i= go

(B') M-Çzrr^D/Sin/Ç.

On voit que le coefficient D, de sin^T est de l'ordre i et qu'il ne contient que les puissances «, i 4- 2, / 4- 4, • • . de e.

84. C'est ici l'occasion de donner deux formules qui sont souvent utiles; désignons par w l'anomalie vraie de la planète; on a

cela rentre dans le type

tangj = fA tang^,

qui donne, comme on sait,

(8) v = ^ + ^- sin2ic4- - I I sin4.^ H- 0 ( - ) sin6;

•^ fJi4-I 2\fji4-l/ ^ 3\/jl4-l/

on aura, dans le cas actuel,

l w=i u-\- ix , sm u -\ — 7 — sin 2 f^

sinSa 4-

On peut écrire aussi

langez = y/^lang^

Pour appliquer la formule (8), on devra prendre

il en résultera

- sinrp -, ^=r=^^-5 sin2 w

—,%\XiZw

Nous allons considérer ensuite la différence entre l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie. On a les formules

Ç = M — e sina,

sin M =\/i — e^

I + ecosMP' d'où

d. log(i + ecosw)

Or on peut écrire