t- e ces»' = -^ (i -h [3E"' V-i) (i + [3E-"' v

en posant

On en conclut

log(i + ecos^v) :=:log -^ + ^(E'*'*^-^4-E-*^V^) — ^(E^'^/^ + E-^»'*^-"^) +,

= log— g + l{^Ç.Q'S>W J32C0S2W -h - j3=*COS3(P — . . . V

et, en substituant dans la formule (9),

Ç— ff + 2^/1 — e^(— (3sinwp' + i3'sin2(v — (33sin3«v + . . .). On peut remplacer u par son développement (C,), ce qui donne

Ç — tv -+- 2 y ^^^ ■ i=r^ (' + «Vi-e«) sin t>.

On a donc cette formule

[iH-2v/i — e^„. ii + Sv/i — e-,. I

Remarque. — Considérons les trois anomalies u, t, w, et d'abord les deux premières; on peut se proposer de développer la différence u —t suivant les sinus des multiples de '(: ce but est atteint par la formule (B'); la même différence s'exprime bien simplement à l'aide des sinus des multiples de u, puisque l'on a u — l^e sinw. Les formules (C) et (C,) donnent ensuite le développement de la différence w — u suivant les sinus des multiples de u ou de w.

La troisième différence (^ — «^ est développée par la formule (D) en fonction des sinus des multiples de w; il reste à y introduire les sinus des multiples de *C; c'est une question très importante, et plus compliquée que les précédentes; elle sera résolue plus loin.

On peut remarquer encore que, dans les expressions (C), (C, ) et (D), les coefficients sont des fonctions algébriques très simples de l'excentricité; il n'en est pas de même dans la formule (B'), ni dans celle qu'il nous reste à obtenir, et qui doit donner "C — w en fonction des sinus des multiples de ^.

85. Donnons encore quelques formules intéressantes dans lesquelles figurent les fonctions de Bessel. On vérifie très aisément les deux relations suivantes :

a du

a- (ii) — ^ = 2esina.

La première donne, en ayant égard à la formule (/'),

On a donc ainsi le développement périodique de -•

On tire ensuite de la formule (i i), en tenant compte de (a') et (c'),

d'où, en intégrant et désignant par G une constante arbitraire,

';-^c-,^u<e,^jp-

Reste à déterminer G; or on a

-^ = I — 2 e cos u + e^ cos"^ u^=i~\ 2 e cos u -\ — cos 2 u ;

on a vu plus haut que le terme non périodique de cosw est — -, et que celui de C0S2W est nul; donc la partie non périodique de ^ est r -h -e^==G, et l'on a

On peut obtenir aussi facilement les développements périodiques de sin(ï^ et cosM^ :

On a d'abord

I + e costv

d'où

ecos(p=— I H — (i — e-), r '

ou bien, en remplaçant ^ par son expression {g). On vérifie ensuite aisément la formule

sinnp-,

SJx—e'

qui

donne

»près

qu

'on

sln

i remplacé

- par s ^ fi

a valc de

sint

in^ = 2 y/i —

Soit C l'équation du centre; on a

sinC =r sintrcosÇ — costvsinÇ; d'où, à cause des formules (k) et (k'),

sin C =r 2 y/i — e^ ^

d ^i(ie) sin^ÇcosÇ de i

+ esinC— 2

^ ii{ie) cos/Ç sinC;

si l'on transforme sin?'Ccos'( et cosTCsin'C en une somme et une différence de sinus, on obtient la formule suivante

SI

n«C=: \^ F/sin^C,

où l'on a

de

cl pour f > I, I — e"

jJ/+i[(^'+0e]-J/-,L('-0e]

4- ^ , e^ . J} c?J,-4-i[(i + i)g] ^ I ^J,-i[(f'— i)e] j i -f I rfe i— i de i

86. Soient ^ et y; les coordonnées d'une position quelconque de la planète dans son mouvement elliptique, par rapport au grand axe (axe des ^), et à la parallèle au petit axe menée par le centre du Soleil (axe des y]). On aura

^ m r Q,OSW:=: a(C0SW - e),

Y) = /• sinirnr «^i — e'^ sin//.

Si l'on remplace sin m et cosm par leurs développements périodiques trouvés plus haut, on obtient sans peine les formules suivantes

dans les^, on doit donner à l'indice «toutes les valeurs entières depuis — oc jusqu'à 4-00, en exceptant la valeur zéro.

Enfin, dans une méthode importante relative à la théorie des perturbations planétaires due à Hansen, on a besoin des développements des expressions

cos(p sintp -il- . • j w 1 1 1» T

^.2 et ~^^} suivant les sinus et cosinus des multiples de 1 anomalie moyenne.

Ces développements sont faciles à obtenir; on a, en effet,

cosw I sintv n

Par rapport aux axes 0? et Oy], les équations différentielles du mouvement elliptique de la planète sont

on en tire, à cause des formules

Dans les seconds membres des deux dernières équations, remplaçons^ et v] par leurs valeurs {m), et nous obtiendrons

/ =+ oc

Dans ces dernières formules, on peut ne plus excepter o parmi les valeurs de i; les termes correspondants sont nuls.

THÉORÈME DE CAUCHY. - NOMBRES DE CAUCHY

87. Considérons une fonction S, finie et bien déterminée, de l'anomalie excentrique m, ayant pour période 2û; S sera aussi une fonction périodique de 'C. admettant la même période; on aura donc ces deux développements convergents

\ s r:= - «0+ «1 COSW 4- a, C0S2M + . . .

( -h biSinit -ibi s\n2u -h. . . ,

\ S = - Ao -H A, cosC + A2COS2Ç + . . .

( + B, sinÇ -I- B, sin2C -i . . . .

Supposons que le premier soit connu, et proposons-nous d'en déduire le second; cela est facile en partant des formules trouvées dans le Chapitre précédent pour les développements de cosy'w et sinyw suivant les sinus et cosinus des multiples de (^. On avait fait

cosya = ^ /?'/' 4- ^ /4" ces iX, 1=1

sinyw— ^ 9V' sin«C;

on trouvera aisément

A/ = «,/??'+ a,p\^' + . . . ^ ajf'/^ + . . . , B,^ ô.^l" + 6,7',^' + . . .1- />yr/l." +. . . .

THÉORÈME DE CAUCHY, — NOMBRES DE CAUCHY

OU bien, en mettant pour les quantités p'f et q^-/^ leurs expressions à l'aide des transcendantes de Bessel, formules {b) et {b') du Chapitre précédent,