Posons

la formule (2) va devenir

S=iAo4- - A,(^ + ^-')+ - X.iz^-^z-^)-^. 2 " 2 2 ^

Sr=Po-f-P,2 -^V',z.^ 4-... + P,-:;' 4-... 4- P.-, z- ' h P 2 := ^ -1- ... 4- P- ,• c- '■ 4- . . .

23o CHAPITRE XIV.

en posant

d'où

( Ao=2Po,

Remarquons que, si p est nul, l'intégrale / zPdl est égale à 271, et qu'elle

est nulle s'ip désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; cela résulte de la formule

j zPdî^= 1 cos/>Cf/C + \^— I / slnpKàZ.

On aura donc, en multipliant les deux membres de l'équation (5) par z~'dï,, et intégrant entre les limites o et 2-,

(7) 27rP,— f Sz-'dt;

cette formule a lieu pour toutes les valeurs entières de i, positives, nulles ou négatives.

Posons maintenant

il existe entre les variables :; et^ une relation importante; on a, en effet,

Z ^= u — e sin u ; d'où

Remplaçons V — i sin w par et nous trouverons

telle est la relation cherchée.

THEOREME DE CAUCIIY. — NOMBRES DE CAUCIIY.

Nous aurons ensuite

<j?Ç =: ( t — e cos u ) du

du;

portons ces valeurs de z et de cTC dans la formule (7); elle va nous donner, en remarquant que, si X, croît de o à 2u, 11 croît lui-même de o à 2tt,

en posant

(II

.P../%.-^EÏHi[.-^(..i);

r2TÎ \]s-' du,

du