U— -SE
ie / I >
La fonction S est développable en série convergente procédant suivant les puissances positives et négatives de^; cela résulte des formules (i) et (8); il en est de même du produit de S par l'expression
c'est-à-dire de U.
Nous pouvons donc écrire
"^^'^[-^(-^Ol-
-hP;i5--+pi2.s~--i-. . .+p'.,-5-'+. . .
On conclut de cette équation que l'on a
' Vis-^ ds = inP'i,
et, en comparant cette formule à la formule (10), on arrive à
Donc le coefficient P, de z', dans le développement de (5), est égal au coefficient P^. de 5' dans le développement (12); on voit qu'on est ramené à développer, suivant les puissances de s, la fonction U qui est un produit de trois facteurs:
l'un '" ai*"*" ^) ^^^ ^^^^ développé, l'autre E'^ ' se développe aisément
(cela introduit les fonctions deBessel); enfin, dans un grand nombre d'applications, S est une fonction simple de s : c'est en cela que consiste le théorème de Cauchy.
Quand on aura déterminé ainsi les coefficients P,, on calculera A, et B, par les formules (G).
On peut donner au théorème de Cauchy une forme différente ; écrivons d'abord l'équation (7) comme il suit :
rfC.
Si nous intégrons par parties, il vient, en remarquant que S prend la même valeur pour (^ = o et r — 271,
Remplaçons z par sa valeur (9), et ^ par \/— i E"^ — ^y^— i, et nous trouverons finalement
(i3) 27rP,= -; / s-(^-'^~¥J^'~'^du.
Or, si nous considérons la fonction
i ds
et que nous la supposions développée suivant les puissances positives et négatives de Sy de manière à avoir
i ds " - Oo + Qi ■« + Q2 s^ + . . . + Q,-, .?'■-' + . . .
nous en conclurons, en multipliant par '("^''^^w et intégrant de o à 211 relativement à w,
' S'U-^) '11 ^^V ~s) du.
La comparaison des formules (i3) et (i4) donne donc P, est le coefficient de s'~^ dans le développement de la fonction V.
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCIIY. 233
Voici donc le théorème complet dû à Cauchy : Considérons le développement
S = Po + P, 5 + . . . -1- P, s'- + . . .
I'* P, est égal au coefficient de 5' dans le développement de la fonction
(.) „ = SEÏ(-0[,i(,^l)].
2" Vi est encore égal au coefficient de s^~* dans le développement de la fonction
' i as
Dans les applications, on prendra celle des deux formes qui paraîtra la plus avantageuse; il faut remarquer que, pour le calcul de P,,, «étanfnul, on devra employer la forme (a).
On pourra se convaincre facilement qu'en partant de la forme (a), et passant ensuite des valeurs des coefficients P^ à celles des A, et B^, on retombe sur les formules (3).
Faisons néanmoins une application au développement de -■> déjà considéré ci-dessus.
On a
la fonction U se réduit à
Vi est donc égal au coefficient de s' dans le développement de E^^ '', c'està-dire à J,(/e); P..,- est égal à J i(— ie) = J,(ie) = P,. Les formules (6) don-
nent
Ao = Jo(o)=:i, Aj=2jj(ie), B,- = o;
on retrouve bien la formule déjà obtenue
- = H-2 V Ji{ie) cosiÇ.
Avant de faire des applications plus compliquées, nous allons introduire des coefficients numériques que l'on rencontre dans plusieurs questions, et auxquels on a donné le nom de nombres de Cauchy.
89. Soient j et q deux nombres entiers positif s ou nuls, p un entier quelconque, positif, nul ou négatif; l'expression
l=ix-P ( .r + -Y (x— ^
peut être développée suivant les puissances positives et négatives de ^; le développement contient d'ailleurs un nombre limité de termes. Nous représentons par N^j^^ le terme indépendant de x dans ce développement; on peut dire aussi que N^j ^ est le coefficient de x'' dans le développement de l'expression
(x-h-j (x — ~] suivant les puissances de x; '^-pj,q représente l'un quelconque des nombres de Cauchy. L'introduction de ces nombres permet de présenter d'une manière plus simple certains développements qui se rapportent au mouvement elliptique; nous allons h\ve connaître quelques-unes de leurs propriétés.
On a
= 1, si J + g —p est nu],
— o, si y H- ^ —/? est négatif ou impair. '
En effet, le développement du produit lx-i--j (x — -] est de la forme
J7+-J (x Î-) =:xJ^9 + CiXJ-^'!-^+C3xJ-^^-''-\-. . .;
on en conclut
l — x-p(x+-\ lx—-\ —XJ+1-P+ CiXJ+i-P-'^+c^xJ^i-P''*-\-
On voit que, si j -+- q — p est nul, la partie constante de I est égale à i ; si J -^ q — p est négatif, il n'y a pas de partie constante, et il en est de même siy -^ q — p est impair.
On a la relation
En effet, ^-p,j,q est le terme indépendant de x dans le développement de x'P(x-] — j (x — -j ; ce sera aussi le terme indépendant de ^' dans le développement de l'expression suivante, que l'on déduit de I en cbangeant^r en —j
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCIIY. 235
or ce dernier terme est par définition égal à ( — O^^p.y,?' ^^ formule (i5) est donc démontrée.
Cherchons l'expression analytique de N^o,y ^n supposant q^p, ce qui est toujours possible d'après la formule (i5).
On a
où a et j3 sont deux entiers nuls ou positifs vérifiant la relation a + ^ = ^ ; pour obtenir le terme constant de ce développement, il faut faire
a — [3— /?^^o; on en conclut
et
On pourra calculer par cette formule les valeurs de ^-p,Q,q et former un premier Tableau contenant tous ces nombres : p sera l'argument horizontal, et g l'argument vertical du Tableau.
On a ensuite la relation
(17) ^-p,j+i,i^^ ^-p+^j,9~^ ^-p-ij,9'
qui résulte de la formule
On aura, en particulier,
on pourra donc former un second Tableau contenant les nombres de Cauchy pour lesquels y = i.
On continuera ainsi poury = 2,y = 3
Nous allons reproduire quelques Tableaux donnant les valeurs des nombres de Cauchy, N^jy, poury = o,y = i ety = 2;/? est l'argument horizontal, q l'argument vertical ; quand une case est vide, c'est que le nombre correspondant est égal à zéro.
Tableau des N j:,,o,<7-
{p est l'argument horizontal et g l'argument yertical.
Tableau des N-;,,],^.
Tableau des N/,,2,,7.
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 287
Nous renverrons pour plus de détails à un Mémoire intéressant de M. Bourget, inséré dans le Tome VII des Annales de l'observatoire de Paris, et particulièrement aux pages 3oo-3o3 de ce Mémoire.
Le lecteur pourra consulter aussi le Tome V de la i*^^ série des OEuvres complètes de Cauchy, p. 3o8-3io (Paris, Gauthier-Villars, i885).
90. Développement de (- — i] suivant les cosinus des multiples de
l'anomalie moyenne, m désignant un nombre entier positif. — ^ — (~ ~ i
est une fonction périodique de C; la période est 271, et la fonction est paire; on aura donc en série convergente
(18) (^~V =;<'"'+ 2 ^l-""cos^-Ç
S = P;,"" 4- 2 PI"*' (2' + z-i )
avec
on a
(19) S = (— ecos?0'"=(— 0"M -) (•^+".) •
Pour trouver PJ,"", nous appliquerons la première forme du théorème de Cauchy; P'"" sera égal au terme indépendant de s dans le développement de la fonction
Il y a deux cas à considérer, suivant que m est pair ou impair : i" m = ini' .
On a
le terme en f ^h — j ne donnera pas de terme indépendant de s\ il y eu aura un au contraire provenant de f y -f- - j , et son coefficient sera
( m' -f- I ) {m' -\- 2) . . .im' 1 . 2 ... m' *
on aura donc
!„,, {m'+,){m'+2)...'2m' /eV-',
On a alors
C'est maintenant le terme en is-\ — j qui ne contiendra pas de partie indépendante de s, tandis que (^ + - ) donnera la partie constante
(m' -h 2) jm' -h S) ... (2m' -h 2) ^
on aura donc
/,,N l^(îm'+i, (m'+2)(m'+3)...(2m^+2) fey'"'^^
Il nous reste à calculer ^cj/"' = PJ'"', «étant différent de zéro; nous appliquerons la seconde forme du théorème de Cauchy, et nous aurons pour^cj"" le coefficient de s^~* dans le développement de la fonction
en remplaçant S par sa valeur (19), on trouve que cela revient à chercher le coefficient de / dans la fonction V = V^,
en développant l'exponentielle suivant les puissances de ^ , il vient
ie
le
ie\'J
,+ir"Y.-iV"'
