sj \ s
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE GALCIIY. 289
Le coefficient de s' dans le second membre de cette formule sera, en introduisant les nombres de Cauchy,
On aura donc
/ le im le
(-) cr=(-.)-- I 2 T^i^ «,„„„,„..
Les formules (20), (21) et (22) résolvent le problème qui se trouve ramené au calcul des nombres de Cauchy; ces formules sont dues à M. Bourget. On remarquera que, pour que N,^,„,^y^., ne soit pas nul, on doit avoir
— i + ( m — i) 4- ^ + I =: 2 A-, X: étant un entier positif ou nul; donc
m + q^=.i-\- ik.
Il en résulte que, relativement à e, c/"' est de l'ordre i, et ne contient que des puissances de e dont les exposants sont de même parité que i.
91 . Développement de ( - j suivant les cosinus des multiples de l'anomalie moyenne, m désignant un nombre entier positif. — Nous aurons en série convergente
en faisant
La fonction S a d'ailleurs pour expression
Nous appliquerons le théorème de Cauchy sous sa première forme; PJ"" sera le coefficient de 5' dans le développement de la fonction
24o CHAPITRE XIV.
Commençons par Pjf"; ce sera le terme indépendant de s dans le développement de
or on a, en laissant de côté les puissances impaires de 5 h- -. qui ne nous donneraient aucune partie indépendante de s,
(m — i)/n. . .(m + 2p — 2) /eyP / , i y-P "^ . 1 .2. . .2p V2 / V s
On trouvera ainsi
1 p,,„, ( m — I ) m /ey (m — i)m(m H- i)(/n + 2) /e
(/?i — i)/n(m + i). . .(m H- 2p — 2) /^yP
(1.2. ..pr
Venons maintenant à la recherche de GJ""; posons, pour abréger,
mo = I ,
mi=^
nous aurons, par la formule du binôme,
La formule (24) nous donnera ensuite
^-i."^{t}\^-'')'-'^^:.::jrhî
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE C.VUCHY. 2/j I
On en conclut, en introduisant les nombres de Cauchy,
(.-) «""-=22T:r::;;'"vU ^-'■'■■''
j varie de o à + co, et q aussi; on a vu que, pour que ^-,;j,q ne soit pas nul, on doit avoir
k désignant un nombre entier nul ou positif; il en résulte que, relativement à e, le coefficient GJ'"' sera de l'ordre i, et ne contiendra que les puissances de degrés ï, ï -h 2, i + 4> • • • de ^.
Calculons en particulier G'^""; nous trouverons
^G'^'=::|(WlN,,l,o-hW^oN l,o,l)
On trouve directement
N i, 5,0 = 4- 10, N,,i,i — +2, lN,,3,2--=— 2, N i,2,3= — 2, N.,, 1,4=4-2, N-1,0, 5 = 4-10;
et, en remplaçant m^, m, , m^, . . . par leurs valeurs (26), il vient
92. Appliquons les formules précédentes au cas de m—i\ nous aurons
alors
P=^G[.^'+2G'/'cos.-Ç;
la formule (sj) donne ensuite
2 " 2 ■>.. \ a.4. . «ap
le second membre se trouve être le développement de (i — e^) ^ On a donc
Les formules (26) et (27) donnent ensuite
mo = /»i = mj = . . . = I ,
enfin on aura
(29) ^ = -^,,,,.+ y G<,^'cos.-Ç.
Nous allons déduire de là un développement dont l'importance est fondamentale, celui de l'équation du centre suivant les sinus des multiples de l'anomalie moyenne.
En désignant toujours par w l'anomalie vraie, le principe des aires nous donne
dw , , -,
on en conclut
dw a-
et, en remplaçant -2 par son développement (29),
dw
Multiplions par £^, intégrons et déterminons la constante par la condition que, pour '( = o, on ait wp = o; il viendra
Si donc nous désignons l'équation du centre par c et que nous fassions
I— /i (a) trr: 2 H;siniÇ,
THÉORÈME DE CÂUCHY. — NOMBRES DE CxVUCHY. 243
nous aurons
tout est donc ramené en dernière analyse au calcul des nombres de Gauchy.
On se rappelle que les indices j et q prennent toutes les valeurs entières nulles ou positives satisfaisant aux conditions
on aura donc pour H^- une expression de cette forme
H<=^^[Hl«'(r/-H,'(0'^V...].
Cherchons l'expression de HJ"'; nous aurons
OÙ les indices/ et q prennent toutes les valeurs entières nulles ou positives, telles que y -^ q — i-, or on a vu que, dans ces conditions, on a N^-,y,^ =i ; on trouvera donc, pour le coefficient cherché,
l'J II- r
