IH

Remarque. — On a vu dans les n"'* 91 et 92 que, pour m— i, - GJ,"" est égal

à I et que, pour m = i, - GJ,"" se réduit à ^ ^- On peut démontrer que l'on

peut sommer la série (23) quel que soit le nombre entier m, supposé maintenant supérieur à 2. On tire, en cfïet, de la formule (23),

ou bien, en remplaçant dC, par sa valeur tirée de (3o) et remarquant que w varie entre les mêmes limites, o et 2-, que C

On a d'ailleurs

a i + ecosi^ il viendra donc

Or on a, en employant la formule du binôme,

(i + e cos (v)'"-2 dw -=. I dw h e j cos^^' dw

^ ^: e- I cos^ w dw -+- . .

L'intégrale / cos^'w^^m^ est nulle si p est impair, et égale à

SI p est pair. On trouve ainsi, après une légère transformation des coefficients,

iGr=(.-^=r'"[. + ^"^li^^^'(0'

On voit que la série qui figure au second membre de cette formule se termine d'elle-même, si m est un nombre entier supérieur à 2 ; pour w = 2, ce second

membre se réduit bien à — ==

Pour terminer ce sujet, nous reproduirons ici l'énoncé d'un théorème que nous avons démontré dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XGI, p. 897 :

Soit/(r)une fonction finie et bien déterminée du rayon vecteur r; on pourra développer cette fonction suivant les cosinus des multiples de l'anomalie moyenne

THÉORÈME DE CÂUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY

Le coefficient B, est représenté par une série ordonnée suivant les puissances de l'excentricité; voici sa valeur symbolique :

quand on aura effectué le produit

on devra y remplacer une puissance quelconque de l, \^ par

^ dai '

le coefficient de ( - ) dans -B, se présentera sous la forme suivante :

OÙ les a sont des coefficients numériques; on voit qu'on a pu condenser cette expression en adoptant une notation symbolique.