Posons
nous trouverons sans peine, en partant des formules des n*^* 90 et 92, -[L|!(.y.,..]eos6,--|i-Z(.y...]eos,C-....
et
ri223 /e Y
36 V2, sin6Ç
Ces deux formules sont l'une des bases fondamentales du développement usuel de la fonction perturbatrice, celui qu'a adopté M. Le Verrier.
On aura à en conclure les développements de x^, x"\ .... de y^, y^ . . . , de xy, x-y, . . . , xy-, xy^ . . ., et en général de x"'y" suivant les sinus ou cosinus des multiples de '(.
Pour ce qui concerne les puissances successives de x, la question est résolue par les formules du n° 92; elles montrent que x'" ne contient que des cosinus des multiples de 'C et que le coefficient de cosi'C est de la forme
( 35 ) ce'+2^' + Cl e'+»'^+2 ^ ^^ gi+2k+i. + . . . ,
k désignant un entier positif qui peut être nul; on doit avoir d'ailleurs
Pour les puissances successives de y, on les effectuera de proche en proche, en partant de la formule (34), que nous écrirons ainsi
y r=z. . .-\-b,, sin/>Ç-i-. . .+ b,,sh\q'Z -\- . . . ;
bp et h,j sont respectivement des ordres p et q relativement à e, et ne renferment que des puissances de e dont les exposants sont de même parité que/> et ^; on aura d'abord
ou bien
y^ = , . . + l{bl-^ bl) - \blc0s2pK - ^blC0S2rjt:
-\-b,,b^COS{q ~-p)^— b,,b,jCOS{q '\-p)K-h
THÉORÈME DE CAUCIIY. — NOMBRES DE CAUCHY. 247
11 n'y aura donc que des cosinus dans le développement de y^; l'ordre de {b-^, coefficient de cos2/?C est 2/?; celui de bpbq, coefficient de cos(^ +p)^ ^st q +/?; l'ordre de bpb^, coefficient de cos(^ " p)^ est q -i- p — (q — p) -i- 2p.
On en conclut aisément que le coefficient de cosî^ dans y- est de la forme (35), et que l'on doit avoir
On verra de même que y^ ne contiendra que des sinus et que le coefficient de s'mit, sera de la forme (35), avec
En général, le développement de y" ne renfermera que des cosinus, si n est pair, et des sinus, si n est impair; les coefficients de cosï^ et de s'ini'C, seront de la forme (35), avec la condition
On passera ensuite aisément aux développements périodiques des produits tels que x'"y", où m et n désignent des nombres entiers positifs ou nuls; x"'y" ne contiendra que des cosinus si n est pair, des sinus quand n sera impair; les coefficients de cos^C et de s'ini^ seront de la forme (35), avec la condition
i + 2 A'rm H- n.
Le Verrier a donné les développements ci-dessus, pour toutes les valeurs telles que m + n^y, dans le Tome I des Annales de V Observatoire de Paris, pages 343-345; il a négligé e% e\ ....
94. Nous aurons besoin également des développements périodiques de xi'-'Tcoshy et de \''-'J sinhy,
OÙ p, q, h sont des nombres entiers nuls ou positifs, q étant au plus égal a p.
Pour les obtenir, il suffira de remplacer cosAy et sinAy par leurs développements connus suivant les puissances de hy.
On trouvera ainsi
(36) \i'-'/coshy=z\''-i x^-'^^'^ + --—x/'-'/y* — . . .,
(37) x/'-'/sin/iy= -\P-iy ^ x^'-^y^ ■+-... ;
il n'y aura plus qu'à remplacer les diverses puissances, telles que x^yP, parleurs développements ci-dessus; le nombre entier h restera indéterminé.
248 CHAPITRE XIV. — THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY
On verra aisément que x^"^cosAy ne contiendra que des cosinus, tandis que x^~^sinAy ne renfermera que des sinus; le coefficient de cosi^ dans x^~^cos^y sera de la forme (35), avec la condition
le coefficient de mniX, dans x^~^sinAy sera de la forme (35), avec la condition
i-[-2kz.p — q-V-i.
Ces nouveaux développements se trouvent dans les pages 346-348 du Tome I des Annales de l' Observatoire .
Enfin il nous sera encore nécessaire d'obtenir les développements périodiques de
et ^
p, q et h désignant des nombres entiers nuls ou positifs ; on les obtiendra en développant par la formule du binôme (i + x)~'P ' suivant les puissances entières et positives de x :
(38) : — ^ r=:x'7cos/iy — x'^+'oos/iV-i- ^^^ -x^+^coshy — . . .,
(3o) ; -^ z= \f sm hy — ■£- x^^^ smhy -\- ^^ ^—^ — -\''+^smhy —
On se trouvera donc ramené à appliquer plusieurs fois les formules (36) et (37);
le développement (38) ne contiendra que des cosinus et sera de la forme (35 j
avec la condition
i~ir2k = q;
(39) ne contiendra que des sinus, avec la condition
i -+- ikz,q -\- i.
Ces développements occupent les pages 348-355 du Tome I des Annales de C Observatoire.
FORMULES DE HANSEN POUR LE DÉVELOPPEMENT DE CERTAINES FONCTIONS DES COORDONNÉES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
Dans la méthode de Hansen, relative au calcul des perturbations absolues des petites planètes, on a besoin de développer, suivant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne, des fonctions autres que celles que nous avons considérées jusqu'ici. Hansen a traité ce sujet dans son Mémoire intitulé : Entwickelung der negativen und ungeraden Potenzen... (^Mémoires de la Société Royale des Sciences de Saxe, t. IV). Nous croyons devoir résumer ici la partie essentielle de ce Mémoire.
