Il s'agit de développer les fonctions

- ) sinmjv et ( - ) cosm«ï'

al \a

met n désignant deux nombres entiers, le premier positif, le second positif ou négatif.

Ce sont des fonctions périodiques de C; la première est impaire, la seconde paire. On aura, en séries convergentes,

!(-\ sinm<v= H- B, sin Ç + Rj sihaÇ -f-. . .4- B,siniÇ -h. . . , \«/ //•\" I

( - 1 cos/n(i' — - Co4- C, cosÇ + C2C0S2C4-. . . -+- C,cos/C + • ■ • .

Posons, comme dans le Chapitre précédent, E''^"* =z; nous tirerons de (i)

/^y E'"'W=î ^ 1 Co + - C,(g + 5-1) + . . . + - C,(s'4- 2-') +. . . \a/ 2 2 2

Faisons

- ivo Aq ,

l(Ci4-B,)=:Xr', 1(C.-B,) = XYS

^ (Cr h BO = X^'" , i (C, - B,-) = X!!:-"',

il viendra

/'iyE""*'>^^ = X^''" + Xî'"'5' +...H-Xf'"'5' +, + X!!',"' 5-' + . . . + X:';.'" 5-'+ .

ou, plus simplement,

On est donc ramené à développer ( - ) E'"'"^ suivant les puissances positives

et négatives de z. On aura ensuite

Avant de procéder à la détermination générale de X"'"*, nous allons résoudre quelques questions préliminaires.

96. Considérons deux nouvelles exponentielles qui correspondent à l'anomalie excentrique et à l'anomalie vraie,

y est ce que nous appelions s dans le Chapitre précédent. On aura donc, comme on l'a vu dans ce Chapitre,

—' ( -M (a) 5 = jE *V'' y).

FORMULES DE IIANSEN

On peut aussi trouver une relation entre 00 et y; partons, en effet, de la for mule

tanj

— e w tang — >

, , Il I ti^ —t. ' 1 V—l , W ICC — l

remplaçons-y tang - par^ ^^^«^ = ^ j^TT' "'"SlP^''^ ^Tl ' et posons

'i~e I — fi

I +e ~ iH- (3'

nous trouverons ainsi d'où

on en déduit

j' — I ^ I — |3 or — I

Si nous éliminons j entre les équations (a) et (^), nous aurons une relation entre :; et ^; nous tirons d'abord de la formule (b)

1 + (3:r cc H- (3y "

En portant dans la formule (a) la valeur (b) de 7 et la valeur ci-dessus de j > et remarquant que l'on a - (1 — ^-') = ^\Ji — e-, on trouve

::^^(l+|Vl + [3^)-lE ^*^' '^C + fi^- l+>.r-.)

Il convient de remarquer que, d'après sa définition (4), ^ est plus petit que e, et diffère peu de - si e est petit.

Exprimons maintenant le rayon vecteur r en fonction de ce ou de y; on a d'abord

d'où

On a ensuite

/• I — e^ I — e^ 2(1 — e"^) ce

a 1 4- ecosnp" ~ e / i \ ex'^-\- ix -\- e