Lr
OU bien
Nous aurons tout à l'beure à introduire du ou dw au lieu de dX^\ nous aurons pour cela les formules
(7) dX, = -du,
(8) dK^'l ''"
97. Nous pouvons maintenant aborder la détermination de X"'"'. Multiplions les deux membres de l'équation (2) par z'^dX,, et intégrons relativement à ^ entre les limites o et 27: ; nous trouverons
Nous pouvons remplacer maintenant, dans le second membre de cette for-
mule, r, x, z, dQ respectivement, d'abord par leurs valeurs (5), (^'), (a), (7), puis par leurs valeurs (6), (c), (8) (dans cette dernière substitution On ne touche pas à la quantité x')\ il viendra
(A) X?''"— (i + (32)-«-i -— / y«-'(i — (3j)«-'«+M I— "j E'^ y' du,
A chacune de ces équations correspond une des formules de Hansen. Puisque ^ est compris entre o et i et que les modules de a? et j sont égaux à I, on voit que (i — ^j)"-"*+< et ( i — - ) sont developpables en séries
convergentes suivant les puissances de j ou de -; il en est de même relativement à X, pour (i + [3^)'-"-- et (^ + |) ' \ E'P»/*-^\+p.v est développable suivant les puissances de — ^5—» donc suivant celles de x\ E~' ^ i+p»—
est de même développable suivant les puissances de x~\ On en conclut que, si l'on considère les fonctions
ces fonctions seront developpables en séries convergentes procédant suivant les puissances positives et négatives de j ou de x.
Désignons par ,.%, le coefficient de j'""* dans le développement de $, et par «C celui de a;'"'" dans le développement de $' ; nous aurons
car le terme ,.\,j''^'" donnera, dans l'intégrale du second membre de la formule (A),
t\o x — / du=: A,
et tout autre terme, tel que xW^y^'"*'-', donnerait
Nous allons nous occuper d'abord des formules (A), (B), (C).
98. Il convient de remarquer que le théorème de Cauchy conduirait immédiatement à la formule (A) de cette première méthode. Nous supposerons d'abord « == o ; la fonction $ se réduit à
soit cl>o le coefficient de j~'" dans $^; on aura
Posons, pour un moment,
on aura
qlp^
parce que m est un entier nul ou positif; le terme général de ^^ est égal à
on doit avoir
r — s=:-m, d'où s=r+m.
On donnera ensuite à /• les valeurs o, -h t , + 2, ... et à 5 les valeurs correspondantes; il viendra ainsi
[ 1.2... m I i.2...(mH-i)
On aura donc
{ — i\m Qin r
1 .2. . . m (iH- (3^)' y ^ ^ — ^ + I (/i + 0 (/^ + 2). . ■(/?+ m + 1) 02
Si le nombre n est tel que l'on ait
rt > — m — I,
la série qui figure dans le second membre de la formule (D) se termine d'elle-même; si n est égal à l'un des nombres — 2, — 3, . . ., — m — i, on a X^''"'= o. Si l'on a n<C— m ~ i, la série se prolonge indéfiniment. On peut écrire alors, en employant la notation employée pour représenter la série liypergéométrique,
(3'» (/z+2)(«-l-3). . .(rt-j-m + i)
Considérons maintenant le cas général où i est un nombre positif ou négatif différent de zéro; en faisant
la formule (B) donnera
(II
ie . I -f- i/i — e*
en posant
Nous allons chercher le développement de© suivantles puissances de j; nous en conclurons celui de 0, en changeant j en -? m en — m, v en — v. On a, en séries convergentes,
E^Pr =^ I + (3/ + — (3^/^ + --^ (33 j
Si donc on pose
Il - ,
{n — m-hi){n — m){n — m — i) (n — m-+-i){n — m) v
on aura
On fera de même, en changeant m et v en — m et — v,
Qi
(i2i) { (^n -\- m -[-i) {n -h m) {n -h m— i) {n -h m -^ i) ( n -h ni) v
et il viendra
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (iS) et (i3,), et chercher dans ce produit le coefficient ol, du terme en j'"'". Si i — m est positif, on trouve
X^{-i y- - ( P,„, [3'-"' + ?,,„. , O , (3'--'"+2 au lieu que, dans le cas de ? — m négatif, il vient
On aura donc ces valeurs de X'''"' :
1° f > m, 2° i <.rn,
Il convient de remarquer que, dans les formules (E) et (F), il suffira d'un nombre de termes peu considérable, puisque chaque nouveau terme contient un facteur p^ de plus que le précédent.
Les quantités P,, Pj, .... Q,, Qa, • • . seront calculées par les formules (r?.) et (i2,), V étant défini par la relation ( lo).
Appliquons ces formules au développement de —,; nous aurons donc/^ = — 2, m = o;\es formules (12) et (i2<) donneront
— P3 = iH 1 H
après quoi la formule (E) deviendra
X7^'<' = (-iy(3'(n-p"-)(P. + P.+iQi[3^ + P«+2Q2P*+-..).
99. Nous allons appliquer maintenant les formules (B') et (C). Nous considérerons en premier lieu le cas de i= o; la fonction <^' se réduit alors à
soit cAo'„ le coefficient de œ'"' dans cette formule, on aura on arrive ainsi sans peine à la formule suivante :
Xyn ^ J L P/' P (n + 2) (« -+- 3). . .(« + m + I)
(D') / • -+- ^^ -^ '^ (n + a)(nH-3)...(nH-m-|-2) „.,
On voit que la série qui figure dans cette formule se termine d'elle-même lorsque /i + m -h i est négatif, auquel cas la série qui entre dans (D) se compose au contraire d'un nombre illimité de termes.
On peut donc toujours exprimer X'^'"' sous forme finie.
Si /i + 2 est positif, la série qui figure dans (D') n'est pas limitée; on peut écrire, comme on le voit aisément,
0,..) xr- = (-.)- ^-^^-^ '""'»" :^'::':r '"" ' ^'C" ^ - ^ -. - + -- -^ h-, p»).
On vérifie facilement l'identité des formules (Dj) et (D, ), en partant de la propriété de la série hypergéométrique qu'exprime la relation suivante :
Enfin on a aussi cette autre propriété "[Œuvres de Gauss, t. Ill, p. 225, formule (loo)],
qui donne, en posant
la'zzzin — n — i , c' = wi + i :
F(m~«-i, — /i— I, m-hi, i32)r=(i-t-|32)«+i-'«F( ^ , — ^— , m+ i, eM .
La formule (D,) peut donc s'écrire
ou encore, en tenant compte de la propriété (i4)»
^, ,, , . (/iH-2)(n-f-3)...(n + w + i) /e\'". n+\ (,n-\-n-^i m-+-« + 3 \
(d;) x'oV«^(0'"^ ^2../^ — — ^Uj (^-^-^ ^( — 2 — ' — 2 — "'^+^^-j'
On aurait pu, d'ailleurs, démontrer beaucoup plus simplement ces relations (D2)et(D.,). On a, en effet,
X'I'"' = -— / (-) YJ'"^'^~^ dt--^ — I (-) cos mwdZ 271 J^ \aj 271 J^ \aj
rm — =^ / — COSmivaiV
--: (i — e- ) ^ — ; / ( I 4- e cos (v)- "-2 ces mtï^ c/tv
OU bien, en développant (i -^ecoswy-^ par la formule du binôme,
"+^ vri r, X («+2)(n + 3)...(« + p+i) „ I r^'^ . , 1
Xo-"'={i — e^) y\\{—^)^- — — ^^ ^ ^^P — / cosP (V cas mwda>\.
Or l'intégrale — / cosPcosmnr^^w^ est nulle si p est plus petit que m; elle
l'est encore si, p étant plus grand que m, la différence p — m est impaire ; dans le cas où cette différence est paire,
p=rm+2p', p'^O,
on a
(,Qg/«+2p jp (>os /ntï' a(ï^ —
2m+ip' r .2. . . p'. I .2. . .(m + p')
Il viendra donc
Xn,m^( ,v" /^^'\"V, ^m""^ V(/^ + ^)(» + 3)■■■(/^ + /^^ + I-^-2p^) /^yP'. Ao -(-I) \^-j {i-e) 2d 1.2. .. p'TT. 2. ..(m + p') V27 '
on vérifie aisément que cette formule coïncide avec (D^).
Considérons maintenant le cas général où i est un nombre positif ou négatif différent de zéro; en posant
la formule (B') donnera
en faisant
nous allons chercher le développement de 0' suivant les puissances de oc; nous en conclurons celui de 0', en changeant x en -, i en — i, V en — v'. Or on a
on en conclut
On peut développer les puissances de i -i- pc-r, et ordonner par rapport à ^x; on est conduit à poser
on a alors
On fera de même, en changeant /en — i et v' en — v',
( rt H- 2 4- /) ( « 4- 3 H- 0 « 4- 3 + «■ v'
ce qui donnera
(i3;) 0; = I - o; (3a,'- ' 4- q; ^^jc-^- - q; p^^-^ + . . . .
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (r3') et (i3',), et chercher dans ce produit le coefficient .1,' du terme en x^-'".
La formule (C) donnera ensuite X"""; on trouve, comme précédemment, qu'il y a à distinguer deux cas, et l'on arrive aux formules suivantes :
x?'"' == (— iv'-'" — ^~-^ S''-'« r P- 4- p'. ()' s^ 4- p'. o' s* 4- 1 .
^n,,n ^ ( ^yn-i i^^ ^J^^p^ (3-/ [ Q',,,, 4- Q;„,-,. P', [3^ + Q:„-,-.2 P^ P* +..-]^
FORMULES DE IIANSEN. 26 1
On peut remarquer que, si l'on développe suivant les puissances de e les quantités p = 7=^. et V = i ^i — e-, X'I'"' sera de l'une des formes
Proposons-nous comme exemple de calculer X;-' au quatrième ordre près inclusivement; on a ici
m = I , /« = 2, « = m = I . La formule (E') donne
' on trouve, d'ailleurs,
Q; = i5 + 6v'+ lv'2;
c'est le résultat cherché.
100. On a vu, dans les Chapitres XIII et XV, que les quantités -» u — t,
w — t, i-\ Q,os,qw, l~\ s\nqw, on p et q désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, peuvent être développées en séries convergentes suivant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne "C. Ces séries convergent pour toutes les valeurs de l'excentricité comprises entre o et i ; leurs divers termes sont, les uns positifs, les autres négatifs. Si on les groupe autrement, la convergence peut ne pas subsister.
Il y a lieu d'examiner ce qui arrive quand on ordonne les séries par rapport aux puissances de l'excentricité. Laplace (*) a montré le premier que les séries ne restent convergentes pour toutes les valeurs de l'anomalie moyenne qu'autant que l'excentricité est inférieure à 0,6627 C'est une question importante;
car, dans la théorie analytique des perturbations, on est obligé de négliger les puissances des excentricités à partir d'un certain ordre, et c'est réellement suivant les puissances de ces excentricités que l'on ordonne les calculs.
Pour traiter le problème, nous nous appuierons sur les résultats, aujourd'hui bien connus, concernant la convergence de la série de Lagrange.
Soit l'équation
dans laquelle a, a et :; désignent des quantités réelles ou imaginaires; soit S un
(>) Mécanique céleste, t. V, Supple'ment.
contour fermé, tel que l'on ait sur tous ses points
mod '' ^ ' < I ;
nous supposerons la fonction/(s) holomorphe dans tout l'intérieur de S.
On démontre (voir le Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences de Paris, 3^ édition, p. 167; 1886) que l'équation (1) admet une racine z et une seule dans l'intérieur de S, et, en désignant par n(^) une fonction holomorphe quelconque de cette racine, on a ce développement de ïl(z) en série convergente suivant les puissances de a :
n(.) = n(«)-H 2 TT^T^^T) ^ ["'(«)/"-'(«)]■
Nous prendrons pour l'équation (i) l'équation de Kepler
(2) u — ti — esinu=.o,
dans laquelle nous supposerons (^ et e réels.
D'après ce qui précède, si l'on peut trouver un contour fermé S sur tous les points duquel on ait
,„, , e sin;/ , s\nu
(3) mod -=:emod ?<i;
Il — Ç u — Ç
l'équation (2) admettra une racine w, et une seule, dans l'intérieur de ce contour, et l'on aura en série convergente
Voici comment M. Rouché arrive à trouver la plus grande valeur de e pour laquelle la série (4) reste convergente, quelle que soit la quantité réelle '(.
Soient A le point de l'axe des x dont l'abscisse est '( et M le point dont l'affixe est u. Prenons, pour le contour S, une circonférence de rayon p décrite de A comme centre. Faisons mouvoir le point M sur cette circonférence et désignons par 9 l'angle que fait le rayon AM avec l'axe des ce-, posons d'ailleurs \J — i = i. Nous aurons
La condition (3) reviendra à
(5) - modsin(Ç + pE'?)<i.
SoitF(p) le maximum du module de sin('C -f- pE"'') quand 9 varie de o à 2tc et que "Ç prend toutes les valeurs réelles possibles; si Ton donne à e une valeur telle que l'on ait
la condition (5) sera vérifiée et la série (4) sera convergente pour toutes les valeurs réelles de t.
Si l'on détermine ensuite la valeur p, du rayon p de manière que l'expression
yj-T soit la plus grande possible, et que l'on fasse e, = -jt^î la série (4) sera
certainement convergente quand on aura
e<ei.
Il faut trouver d'abord l'expression de F(p). Or le carré du module de sin(J^ H- pE'^) est égal à
sin(Ç -h pE'?)sin(Ç + pE-'?) = sin(Ç + pcos9 + fpsin9) sin(Ç + p COS9 — ip sincp)
=:cos*(ip sintp) — cos^(Ç + p C0S9).
On aura donc
mod sin(Ç + pE"P) = 1 / ( 1 — cos''(Ç + p C0S9).
Le maximum de cette expression, pour une valeur donnée de p, aura lieu
) sera le plus grand possible, c est-à-dire pour sinç == i ,
et qu'on aura en même temps
cos^(Ç + PCOS9) = O, cosÇ — o, Ç = ±:--
Il viendra donc
Il faut maintenant trouver le maximum e, de l'expression
