OC
Or Legendre a donné des Tables étendues pour le calcul numérique de F, et de E, {Exercices de Calcul ùitégral, t. III, p. 123 et suiv.); l'argument, qui est arcsin^, ou ici arcsina, varie de dixième en dixième de degré depuis 0° jusqu'à 90''; les Tables donnent logF, et logE, avec 12 et i4 décimales.
On a donc le moyen de calculer très rapidement les valeurs numériques de ^(0) g^ jj{\) pQyj. uj^g valeur donnée de a.
108. Nous allons chercher une relation entre a(»4", ip4' *' ^^ ^'4'^'- Partons de la formule générale
nous en tirerons, en différentiant par rapport à ^,
d'où, en ayant égard à (6),
En égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de s'"', il vient
5a [i)^'-2' — Dl,^'] r= (n- «2) (/ ,) ^i,u-i) a [(f 2) D'4'-2' + ri)'4''],
d'où
(F) irtA'' = 4^=^ (a -H -^ itl,r " - i±i-Z:- iil,<'-2'.
Cette formule est très commode pour le calcul numérique; elle permet de déterminer de proche en proche iii)^'", iil>J", . . . , connaissant Db^'*' et iiî>J" que l'on calculera directement par la série (B), ou par une des autres formules qui seront données dans la suite de ce Chapitre.
La formule (F) donnera, en particulier,
21 — 1 il — I
en faisant
e =1 oc H-
Ayant donc déterminé 6'**^ et U^^ par les formules (e) et les Tables de Legendre, on calculera ainsi de proche en proche ¥^\ U^\ ... ; on vérifiera l'ensemble du calcul en déterminant directement la dernière transcendante U^^ dont on a besoin par la première des formules {b). On devra remarquer que la précision diminue avec le nombre des calculs, et que, si l'on veut avoir W^ avec un assez grand nombre de décimales, il faudra en prendre davantage dans U^^ et U^\
On aura de même
Il — 6 7.1 — o
ii — 7
2 £e(/-i) ii±4 et'-"),
109. Il est facile d'exprimer Db^' en fonction de deux des transcendantes qui se rapportent h la valeur 5 4- 1 de l'indice s.
La formule (6) donne en efPet, en y changeant 5 en ^ f- 1,
après quoi l'équation (7) devient
sa
^^:iy^'--\^i^I'^'-''
Égalons dans les deux membres les coefficients de :;' *, et nous trouverons
En appliquant cette formule, on pourrait donc obtenir successivement les quantités e'-'i en fonction des /^'\
mais il vaut mieux suivre la marche inverse et, prenant comme point de départ les fonctions è''' qui jouent le rôle le plus important, chercher à en déduire successivement les c''\ puis les e''\ et enfin \es/^'\
La formule (F) donne d'abord, en y remplaçant i et s par « + i et ^ + i ,
portons cette valeur de lil^i+V' ^^"^ (^)j ^^ "^^^^ trouverons, après réduction,
(9) ,,y,^,^«^''fc"-('+°-')'"-a,.
d'où, en changeant « en ? + i ,
Les équations (8), (9) et (lo) permettent de déterminer les trois inconnues iii^VV' '^'-'Im f^t \«)i7," qui y figurent au premier degré; (9) et (lo) donnent d'abord
en portant dans (8) ces valeurs de dl";/' et iiï^/^ on trouve, toutes réductions faites,
(11) Ho,^, 5(1 -a^)^
Cette formule résout la question; mais on peut obtenir des résultats plus satisfaisants au point de vue des calculs numériques en procédant comme il suit : changeons dans (H) «en — i — i, et nous trouverons
Nous tirerons ensuite aisément de (H) et (H'),
2 L''"^^» + ^"^+1 -I - 25(1 - OCy '
Ce sont là les formules dont Le Verrier fait usage pour calculer numériquement les ^s\)s+^ en partant des iib^. On trouvera, en particulier,
2(1 — a)" la"- -• ^ ^ 2(n-a)^ '
on appliquera ces formules comme il suit :
i[c(o) + cO)]^^^^ ^^,
d'où c(»' et c('\
d'oùc("etc'^^;
2 ■- -" 2(1+ ocy
1[C(')-CW]=::3 V^-T.'
On voit que c^", c'-^ . . . , c'' ^^ seront calculés deux fois, ce qui donnera une vérification utile.
On trouvera de même
2 L ^ J~6 (I Ha)^ '
^[/(0 H/(->)] ' (2.- + 5)ef'-)(2.-3)e('-')
En résumé, on calculera directement b"^^ et b^^K soit par les séries déduites de la première des formules (b), soit par les formules (e) et les Tables de
Legendre; les relations (/') donneront ensuite 6^-^ b^^\ ... , après quoi on trouvera les c^'\ e^'^ et/^" en appliquant successivement les formules {Jk), {k') et {k"). Enfin les formules (3) donneront les A('\ B('\ C^'" et D«.
110. On peut introduire très utilement dans cette théorie la série hypergéométrique
La formule (B) nous donnera, en effet,
, ^ I . ,/i sis -\- i) . . .{s -\- i -i) .„,
(il) - ill>'"=— ^ ^— T- '- a'F(5, s + i, ï-i-i, «2);
on aura ainsi l'avantage de pouvoir employer les propriétés bien connues de la série hypergéométrique, pour lesquelles nous renverrons à deux Mémoires de Gauss, insérés dans le tome III de ses Œuvres. On a d'abord cette relation remarquable
(12) F(A, B, C, ^) =(i-^)-M^Ya,G-B, g, y^^\ qui donne, en y faisant
(13) k=zs, \S =z s + i, C=:f + I, X^=iOt}
et, tenant compte de la formule (i i),
ï ,0 (t) s{s + i)...{s+i — i) Ot} / — «2
â'"^ xT^TTTT ^rr--^^('''-^'^ + ''r--^
Cette formule importante est due à Legendre; si on la compare à (B), on voit que le facteur '^-^ est remplacé par ^"^ qui est petit quand i est grand ; de môme - -:;.-^— est remplacé par^^; la formule (L) sera donc beaucoup
plus avantageuse que (B) pour les calculs numériques, si i est assez grand. La série qui figure au second membre de l'équation (L) procède suivant les puis-
28o CHAPITRE XVII.
sances de -^^-^» et il est aisé de voir, en appliquant la règle relative à la limite
de ^'^^^j qu'elle est convergente tant que l'on a ^ < i, d'où a < 0,707
Si nous appliquons la formule (12) à F(G — B, A, C, — ^^^j> nous trou-
verons
d'où
et, en portant cette valeur dans (12), il vient
F(A, B, G, .r)=:(i-^)C-A-BF(G-A, G - B, C,a;).
Nous avons déjà fait usage de cette formule dans le n° 99; si nous y donnons à A, B, C, ce les valeurs (i3), et que nous portions le résultat dans (11), nous trouverons
OU bien
La série qui figure dans le second membre de cette formule reste finie pour
a = I , si l'on a 5 ", -: on voit donc qu'on a mis en évidence le facteur -, ^z^r-x
qui rendait u'4" infini pour a = i ; mais la série en question est encore infinie
pour a = I lorsque ^ = -• (Il suffit pour le voir d'appliquer une règle de Gauss,
Œuvres, t. III, p. i^g.)
La série hypergéométrique vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre, savoir
dF d^F
ABF-[G-(A4-B + .)^]^ - (0.-0:^)^^=0.
En faisant x = a^ et donnant à A, B, C leurs valeurs particulières (i3), on trouve sans peine
d^ F d¥ oc(i — a-) -j—^ + [2i -H 1 — (2f H- I H- 4*)a^] -j [^cf.s{i ^ s)Y ■=■0.
Si l'on pose enfin dans cette équation, conformément à la formule (i i),
F:=: orH\>^p X par une constante, on olDtient finalement
(M) (a2-a*)-^^+[a-(4^-ri)x'] -^ - [/i^'a^^i^i .- oc')] Db^'' = o;
cette équation pourra être utile dans certaines recherches.
111. Indiquons encore pour les oïL^" un autre procédé de calcul employé surtout par Hansen.
On tire de la formule (F)
d'où
(l4) (f-5)/?i."rr(i-i)- ^TT^ÎT-'
en faisant
Di.'r»'
Posons encore
(17) A^i'^-F^V^"' et l'équation (i4) donnera
( « — .s) ^. ; Vç = ( f — I ) (i -+-S — 2) . — — , . -, T
' i 14- a«'^ ^ ^ a ^ ^ i-^s—2 oc y^'-*'
OU bien
d'où
où l'on a posé
Supposons que Yi"ait été calculé d'une façon quelconque; on en déduira, de proche en proche, par la formule (18), les valeurs de Yi'"'\ y" ''» •••' t1" ' ^^ calculera par (16) et (17) les valeurs de />'", />i'"^', ..-, p\^\ après quoi (i5) donnera
On connaîtra donc ainsi toutes les quantités \i'4" en partant de la première d'^"' que l'on calculera directement par l'une des formules (B) ou (L).
Il nous reste seulement à montrer comment on calculera y'/'; nous aurons recours à la formule suivante {Œuvres de Gaiiss, t. III, p. i34),
bicc
Ci a:
OÙ l'on a
C C-Hl
les relations (i 1), (i5), (16) et (17) nous donnent
ilî'.lç" S -\- i— I ¥{5, s -h i, i -hJ,a^) (,-, s -h i — i a (,-,
îi!;p^ ~ i ^ F(5, * + /—!, i, a-) "^'^ ~~ ï 7+^'' ^" '
