I -ha* ^-^ "" F (5, ï + 5 -- I, i, a

on aura donc, en appliquant la formule de Gauss mentionnée ci-dessus,

ai oc-

avec

b,oc^

CiCt^

ci,

{i-i-s)(i-hi—s)

Lorsque i est grand, a, est petit, la fraction continue se calcule très rapidement; f tendant vers l'infini, y^' tend vers i + a^ et la formule (21) donne

lim

nM'-»

ainsi, quand i augmente, les 1)'.)^" tendent vers les termes consécutifs d'une progression géométrique de raison a.

Résumé. — Supposons que l'on veuille calculer D'4"', d'^", . . . , dI);' ; on calculera directement iiî^**' comme on l'a dit, y^" par la formule (22), puis

FI.", F^-', ..., Fi/', par la formule (16),

"■' >> (igS

(S y jfs

P's'\ P?\ ■■■, Pi'

après quoi les formules (20) donneront enfin \\'JJ\ uî.f , . . . , d'^".

112. Il sera nécessaire encore de calculer, pour le développement de la fonction perturbatrice, les dérivées successives des fonctions iiî.J" par rapport à a.

On pourrait sans doute les obtenir en partant de la formule (B) différentiée plusieurs fois par rapport à a; on trouverait ainsi

1 dP\\Ui'>

'-^=^li„oc'-^^'^-P,

en posant

On en conclut

( 24 ) — ïr r= ^ ^ — ' = A ,, — 7 )

^ hn (ï-t-2/i — /?4-l)(i4-2/i— /?H-2) A„ A„

liin -|j^ = lim — r— ^ > pour n = cc .

La série (23) est encore convergente pour les valeurs de a comprises entre o et I ; mais la convergence est moins rapide. En effet, remarquons d'abord que, dans la formule (23), on doit avoir ? -h 2/? —/?^o. L'expression de /î:„ qui résulte de la formule (2.4) donne ensuite

i -\- in — p -\- 9,

ou bien

On voit que k,i, qui tend vers i pour ji infini, est notablement supérieur à i pour les premières valeurs de n, surtout quand p est grand. La série (23) convergera donc bien plus lentement que celle qui donne iii>ç".

Exemple. — Considérons , [ ; nous trouverons aisément