TRAVAIL ÉLÉMENTAIRE DE LA RÉSULTAI9TE DE PLUSIEURS FORGES

m. Le travail élémentaire de la résultante R de plusieurs forces ¥, F', F",... qui sollicitent un même point matériel M, est la somme algébrique des travaux élémentaires correspondants à chaque composante considérée seule.

Projetons toutes les forces F, F', F",... sur la direction du déplacement infiniment petit, MM', du point mobile, et soient P, P', P',... les composantes tangentielles de ces forces prises avec leurs signes. La somme algébrique des travaux élémentaires des forces sera (g 107)

PXMM'+P'XMM' + P"XMM'4-...,

OU bien

(P4-P'4-P"...)XMM'.

Mais la somme algébrique P + P^-f-P"-!-... des projections des forces F, F', F",... sur la direction MM', est égale en grandeur et en signe à la projection de leur résultante R; le produit obtenu est donc égal au produit de la composante tangentielle de la force R, prise avec son signe, par le déplacement MM', c'est-à-dire au travail élémentaire de la force R.

142. On démontrerait d'une manière analogue que, si Von décompose, d^une manière quelconque, Vêlement MM' de chemin décrit en plusieurs éléments composants^ le travail élémentaire d'une forcée est la somme algébrique des travaux élémentaires

iea TRAVAIL DE LA RESULTANTE

de cette force correspondants à chacun de ces déplacements^ considéré seul.

Celle proposition rentre même dans la précédente, car celleci n'est autre chose qu'un Uiéorèine de géométrie pure ; or rien n'empêche de prendre la droite finie qui représente la force pour le déplacement imprimé au point mobile, et la droite finie MM' pour représenter la force. La proposition précédente devient alors applicable, et la nouvelle proposition s'en déduit en restituant aux divers facteurs leur véritable signification.

113. Plus généralement, si l'on décompose la force R, qui sollicile le point matériel, en un certain nombre de composantes, F, F', F",... et le chemin élémentaire décrit, MM', en un certain nombre de chemins composants, ds, ds% ds^y...j le travail élémentaire de la force R est la somme algébrique de tous les travaux élémentaires que Ton obtient en combinant successivement chacune des forces F, F', F",..., avec chacun des chemins composants ds, ds\ ds"^...

Supposons que le point mobile M soit rapporté à trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ.

Décomposons la force R qui lui est appliquée, en trois composantes, X', Y', Z', parallèles aux axes. Soit MM' le déplacement infiniment petit imprimé au point ; décomposons-le de même en trois déplacements parallèles aux axes, Mn, nm, mW. Le travail élémentaire de la force R pourra s'obtenir en considérant successivement les neuf combinaisons V ^' suivantes :

V et Mn, X' et nm, V et mM',

^ Y' et M«, Y' et nm, Y' et mM',

Z' et Mn, Z' et nm, V et mM',

et en faisant la somme algébrique des fig. 104. travaux correspondants. Mais le dé-

placement Mn est perpendiculaire à la fois aux forces Y' et Z' ; le déplacement nm est perpendiculaire aux forces X' et Z' ; enfin le déplacement wM' est perpendiculaire aux forces X'et Y'. Les