ÉLÉMENTAIRE

direction MF de la force, on peut projeter la force MF sur la direction MM' du chemin décrit. On peut en effet grouper d'une autre manière les facteurs du travail élémentaire ; au lieu de faire porter le facteur cosç sur l'arc ds, on peut le faire porter sur la force F, ce qui donnera

F COS9 X rf« = rf« X Fcos j),

OU le produit de l'arc décrit par la projection de la force sur la direction de cet arc, ou par la composante tangentielle de la force F.

Dans toutes ces expressions, nous supposons que les facteurs ds et F sont pris en valeur absolue, et que le facteur cos 9 porte seul un signe, qu'il donne au produit.

Si l'on prend positivement les éléments ds de chemin décrit, il faudra donner à la composante tangentielle le signe -fquand elle agit dans la direction du mouvement, et le signe — quand elle agit en sens contraire; le produit aura alors le signe convenable. Lorsque, au contraire, le calcul assigne aux éléments ds tantôt le signe -+-, tantôt le signe —, il faudra, pour que le produit ait le signe fixé par la définition du travail élémentaire^ prendre la composante tangentielle avec le même signe que Télément ds^ ou avec un signe contraire, suivant que la composanlc et le déplacement sont dirigés dans le même sens ou dans des sens opposés.

109. Le travail total d'une force F, variable en direction et en intensité, agissant sur un point qui parcourt un arc MMj de sa trajectoire, peut se déterminer par la quadrature d'une courbe plane. A la somme (fig. 101)

FxMm4-F'XM'm'4-F''xM''m''4-...

nous pouvons substituer, en vertu de la proposition précédente, la somme (fig. 102)

P X MMH- T' X M'M" -H P" X M''M'"+ . . .

Fig. 102.

lt>6 THÉORÈME

prise entre les mêmes limites, M et M^. Dans cette seconde somme, P, P', P', . . . sont les composantes tangentielles des forces F, F', F",... prises avec les signes que nous avons définis.

Construisons (fig. 103) une courbe dont les abscisses O;/., Op.',..., 0[L^ soient respectivement égales aux arcs de la trajectoire AM, AM',..,, AM^, comptés à partir d'un point fixe A, et dont les ordonnées correspondantes [xw, ia'^t',.-., p-i'^i, soient égales aux composantes tangentielles MP, M'P',..., M^P^ des forces successives F, F',..., F^. L'aire de cette courbe est la limite de la somme

dont les termes sont égaux respectivement à

PXMM', P'XM'M^ P^xM-'M'",...

et par "suite Taire de la courbe, comprise entre les ordonnées [JLCT, [jL^Tj^, est égale au travail total cherché. Nous avons, en effet, pour mesure de cette aire l'intégrale définie

(I M.' Il" |i.- ji X i ^ ¥d8 cosf,

Fig. 103. *« '

Sq et s^ désignant les limites Op., Ofx^ de Tintégratiôn, Il est facile de reconnaître que cette égalité est générale, pourvu qu'on observe les conventions relatives aux signés des composantes P et des arcs ds.

Si la force F était en tous points normale à la trajectoire, les composantes tangentielles P seraient constamment nulles, et le travail total serait égal à zéro.

110. Lorsqu'un point est en équilibre, on appelle travail virtuel d'une fofcô appliquée à ce point le travail élémentaire de cette force pour un déplacement infiniment petit, attribué fictivement au point. Le théorème du travail virtuel consiste dans l'énoncé suivant : Pour qu'un système matériel quel-

conque soit en équilibre ^ il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces^ intérieures et extérieures^ qui sollicitent ce système, soit égale à zéro, pour tous les déplacements infiniment petits qu on peut lui attribuer.

Les lois de l'équilibre que nous avons établies dans les chapitres précédents sont toutes comprises dans cet énoncé. Il faut, avant de démontrer le théorème, poser plusieurs lemmes préliminaires.