THÉORÈME. DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN POINT MATÉRIEL UNIQUE

115. Soit M un point matériel libre dans l'espace, et sollicité par des forces F, F', F", ... données en grandeur et en direction.

Si ce point est en équilibre, la somme des travaux élémentaires des forces F, F', F'', ... pour un déplacement quelconque MM' du point, sera nulle. Nous savons en effet que la somme des travaux élémentaires de ces forces est égale au travail élémentaire de la résultante R ; or la résultante R est nulle par hypothèse. Son travail élémentaire est égal à zéro ; il en est donc de même de la somme des travaux dés composantes.

Réciproquement, si la somme des travaux élémentaires des forces F, F', F", ... est nulle pour tout déplacement du point) le point est en équilibre.

En effet, on peut remplacer la somme des travaux élémentaires des composantes F, F', F", ... parle travail élémentaire de leur résultante R; ce travail étant nul, ou bien la force R est nulle, ou bien elle a une direction perpendiculaire à l'élément MM'. Mais il en est ainsi pour tout déplacement du poini, et la direction de MM' est arbitraire. La direction de la résultante devrait donc être normale à toutes les lignes qu'on peut mener pa^le point M, ce qui est impossible. Donc R = 0, et le point est en équilibre.

Traduisons analytiquement ces conditions; nous retrouverons les trois équations d'équilibre posées dans le § 22.

Soient X, Y, Z, les conjposantes de la force F, parallèles à trois axes rectangulaires ;

X', Y', Z', les composantes de la force F' ;

X", Y", Z", les composantes de la force F", etc.

Décomposons aussi l'élément MM' = Ss parallèlement aux mêmes axes, et soient 8a;, St/, 8^5, ses composantes ^

Le travail élémentaire de la force F sera égal à \^x 4- Y8y -f. Z^z; le travail de la force F, à X'Bx -f- Y'Sy -+- Z'^z; le travail de P', à X"&r + Tèy -f- Z'iz, etc., et la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données sera égale à

Cette somme doit être identiquement nulle, quel que soit le déplacement MM', c'est-à-dire quelles que soient les projections 8j?, Sj/, ZZy de ce déplacement sur les trois axes. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les facteurs de 'Zx, de Sy, de S;5, soient séparément nuls, ou bien que

X + X'+X"+...=0, YH-Y'+Y"-H...==0, Z + Z' + Z" + ...=:0.

Ce sont les trois équations d'équilibre d'un point matériel libre dans l'espace.

Les quanlités Sx, 8j/, 82, sont des quantités auxiliaires infinimenl petites, qui doivent rester arbitraires dans toute la suite du calcul, et qui disparaissent du résultat définitif.

116. Considérons un point matériel M, assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe, S, et sollicité par des forces données F, F', F", . . ..

Nous pouvons regarder ce point comme libre en joignant aux forces données la réaction normale inconnue, N, de la surface. Le point devenu libre pourra recevoir des déplaceriienls dans toutes directions autour de la position M qu'il occupe. Mais, parmi ces déplacements, considérons seulement c^tio; qui sont compatibles avec les liaisons dupoini^ c'est-à-dire ceux qui

* On emploie la caractéristique B pour représenter lés déplacements virtuels et leurs projections sur les axes, en réservant la caractéristique d pour les déplacements réels. On verra en dynamique l'utilité de ce changement de notation.