POUR UN POINT MATÉRIEL UNIQUE

s'opèrent sur la surface S. Tous ces déplacements sont normaux à la direction de la force N, et, par suite, pour chacun d'eux, le travail élémentaire de cette force est nul.

Il faut et il suffit, pour que le point M soit en équilibre, que la somme des travaux de toutes les forces qui y sont appliquées, y compris la réaction N, soit nulle pour un déplacement quelconque. Si l'on ne considère que les déplacements compatibles avec les liaisons, le travail de la réaction N étant nul pour chacun d'eux, le travail des forces données, F, F', F", ... est aussi égal à zéro. Et cette condition nécessaire pour l'équilibre est suffisante ; car elle indique que la résultante des forces données F, F', F", ... est normale aux déplacements considérés, c'est-à-dire normale à la surface S. La réaction N sera égale et contraire à la résultante de ces forces.

Les conditions d'équilibre d'un point assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe sont donc comprises dans l'énoncé suivant : // faut et il suffit que la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données soit nulle^ pour tout déplacement du point tangentiel à la surface, c'est-à-dire compatible avec la liaison.

Il est facile de reconnaître, en décomposant un déplacement quelconque du point parallèlement à deux axes rectangulaires menés dans le plan tangent, que ces conditions, dont le nombre paraît illimité, se réduisent seulement à deux conditions distinctes.

Appelons X, Y, Z les composantes de la résultante des forces données qui sollicitent le point, décomposées parallèlement aux axes, et soit

Téquation de la surface S.

Appelons Sa:, Sî/, 8:5, les projections sur les axes du déplacement virtuel infiniment petit imprimé au point le long de la surface. La condition d'équilibre sera

quels que soient les déplacements projetés, ix, Sy, Iz, pourvu. qu'ils satisfassent à l'équation de la surface, c'est-à-dire à la relation

Entre ces équations, nous pouvons éliminer l'un des déplacements, 82'par exemple, ce qui donnera

Cette équation doit être vraie quels que soient hx et Sy, et, par suite, elle se décompose en deux autres :

On a donc la suite de rapports égaux :

dp ~ df df ' dx dy ' dz

Ces conditions nous étaient déjà connues (§80).

117. Prenons encore un point M assujetti à glisser sans frottement sur une ligne fixe, L. On répétera les mêmes raisonnements, et on arrivera à la même conclusion. La condition nécessaire et suffisante pour V équilibre est que la somme des travaux élémentaires des forces données soit nulle pour les déplacements compatibles avec la liaison^ c'est-à-dire ici, pour un déplacement infiniment petite donné au point le long de la ligne L,

On exprime par cette condition que les forces données ont une résultante normale à cette ligne; la réaction de la ligne est égale et contraire à la résultante.

Analytiquemenl , la condition d'équilibre s'exprime par l'équation