POUR UN POINT MATÉRIEL UNIQUE

et la condition de compatibilité avec les liaisons, par les équations différentielles

Entre ces trois équations, on pourra éliminer les rapports r^ , — , et réquation finale sera l'équation cherchée (§ 83).

118. Les trois énoncés particuliers que nous venons de donner sont tous compris dans cet énoncé général :

Pour qu^un point matériel assujetti à certaines liaisons soit en équilibre^ il faut et il suffit que la somme des travaux élémentaires des forces données qui le sollicitent, soit égale à zéro pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

Les liaisons dont il est ici question, équivalent à des égalités, et s'expriment analytiquement par des équations; dire, par exemple, qu'un point est assujetti à glisser sur une sphère fixe, c'est dire que la distance de ce point au centre de la sphère est constante et égale à son rayon. Nous avons vu qu'il y a des liaisons d'un autre genre ; ce sont celles qui équivalent à des inégalités : telle est la condition, pour un point matériel, d'être toujours à l'intérieur d une sphère donnée; on la traduirait analytiquement en exprimant que sa distance au centre de la sphère est au plus égale au rayon. On peut d'ailleurs la réaliser matériellement en reliant le point matériel au centre par un fil inextensible égal au rayon de la sphère. Dans ce cas, ou bien le point est comme libre dans Tintérieur de la sphère, et alors la condition nécessaire et suffisante pour son équilibre est que la somme des travaux des forces données soit égale à zéro pour tous les déplacements qu'on peut lui attribuer ; ou bien le point est sur la surface, et son équilibre suppose l'intervention de la tension du fil, laquelle est normale et dirigée vers Fintérieur. Parmi les déplacements virtuels qu'on peut donner au point, les uns sont dirigés le long de la surface : pour

ceux-là, le travail de la réaction est nul ; les autres sont dirigés en dedans de la surface, et pour ceux-là le travail de la réaction est positif. Le point matériel peut encore êlre considéré comme libre, pourvu qu'on remplace la surface par une réaction équivalente. La somme des travaux élémentaires de toutes les forces qui le sollicitent est nulle pour tous les déplacements qu'il peut recevoir. Donc la somme des travaux des forces données est nulle pour les déplacements qui se font le long de la surface, et elle est négative pour les déplacements dirigés vers rinlérieùr; car on doit obtenir zéro en ajoutant à celte somme le travail positif de la réaction qui complète l'équilibre.

Ainsi l'équilibre, n'exige pas toujours que la somme destravaux élémentaires des forces données soit nulle pour les déplacements compatibles avec les liaisons. Lorsqu'on laisse de côté certaines forces, comme ici la tension du fil, il est possible que la somme des travaux des forces que l'on a prises à part soit différente de zéro pour cerlains déplacements; il faut alors et il suffit que cette somme soit négative. Ce cas particulier ne se présente jamais lorsque les liaisons permettent de changer à la fois le sens de tous les déplacements; car ce changement de sens entraîne un changement du signe des travaux des forces, et par suite la somme des travaux, si elle était négative pour un déplacement particulier, redeviendrait positive pour le déplacement contraire ; l'équilibre ne serait donc plus assuré. Qu'on reprenne l'exemple simple que nous venons de traiter, et l'on reconnaîtra que la somme négative correspond eii effet à des déplacements virtuels pour lesquels le changement de sens n'est pas admissible, tandis que la somme nulle correspond à des déplacements qui peuvent s'opérer le long de la surface dans un sens ou en sens opposé.

nÈGLE DE TSCniRNHAUSEN. 177

APPLICATION DU TlIKORtME DU TRAVAIL V1:;TLEL A LA RECliLliCllK ; DES NORMALES A CERTAINES CX)URBES.

119. Soient A, B, C, ... des poinis fixes; considérons un point mobile M, dont les distances MA, MB,MC, ...à ces poinis fixes soient liées entre elles par une équation donnée. Posons, par exemple, MA = r, MB = r\ MC = r", . . . et soit, entre toutes ces distances, la relation

Cette équation définit en général une surface dans l'espace et une ligne sur le plan. Les coordonnées r, r', r", ... ne sont pas indépendantes; cardés qu'on donne, dans l'espace, les trois distances MA, MB, MC, la position du point M est déterminée, et ~^m,.- ;, les autres distances s'en déduisent. . ;,-^f rf^^ Sur le plan, deux distances suffisent ^ ^-^^ / ^^ ^ pour définir la position du point, et / les autres en sont des fonctions, / qu'il serait facile dé déterminer. ^

Proposons - nous de mener au Pi-r. los.

point M la normale au lieu géométrique des positions du poini mobile. Pour fixer les idées, nous supposerons que ce lieu soil une surface S, représentée dans l'espace par l'équalioii (1).

Prenons sur la surface S un point M' infiniment voisin du point M ; joignons M'A, M'B, M'C, ..; ces distances seront représentées respectivement par r -+- rfr, r' -H dr\ r" -f- dr", ..., et les différentielles dr, dr\ dr'\ ... seront rcspectivemenl égales aux projections Ma, Mg, M^, ... de Tare MM' sur les directions des rayons MA, MB, MC, ..., affectées chacune du signe convenable. On aura d'ailleurs, puisque le point M' appartient au lieu géométrique des points M,

F (r + dr, r' -f rfr', r" -f- cir". . . . ) = 0,