II. — )IKC. COLl.IG\ON

178 lŒGLE

OU bien

Considérons une force appliquée au point M dans la direc-

df dF

tion MA et égale à -^ ; le produit -7- dr est le travail de celle

force quand le point M passe de M en M'. De même -p d/ est

dF le travail élémentaire d'une force égale à --p, , appliquée au

point M, et dirigée de M vers B ; chaque terme de Téquation (2) représente ainsi le travail élémentaire d'une force égale à Tune des dérivées partielles de la fonction F, et cette équation, indiquant que la somme des travaux élémentaires de toutes ces forces est nulle, montre en même temps qu'elles se font équilibre sur un point assujetti à la liaison (1). Donc leur résultante est ou nulle, ou normale à la surface S.

On construira donc la résultante des forcés -r, -r-„ -r-„,...,

dr dr dr" '

respectivement perlées sur les rayons MA, MB, MC, ... ; et si

4e polygone des forces ne se ferme pas de lui-même^ la résultante

qui le fermei'a sera la direction de la normale cherchée.

Tel est renoncé de la règle connue en géométrie sous le nom de règle de Tschirnhausen. Elle s'applique aussi bien aux lignes dans le plan qu'aux surfaces dans l'espace. Elle subsiste encore quand on remplace quelques-uns des points A par des surfaces (par des lignes dans le plan), auxquelles le rayon correspondant, MA, soit assujetti à rester normal.

Exemples. — 1** Ellipse.

L'équation bipolaire de l'ellipse rapportée à ses foyers est

La fonction F est ici r -f- r' — 2a. Donc

dF dr'^.

Prenons donc sur MA = r une longueur arbitraire MC, et

DE TSCHIRNHAUSKN. 179

sur MB = r' une longueur MD = MC; achevons le losange MGED. La diagonale ME, bissectrice de l'angle AMB, est la normale cherchée.

2° Section conique rapportée à un foyer B et à une directrice Cd.

Soit

MA=r, MB = » .

L'éqnalion du lieu est

Donc

r = Kr'.

F = r — Kr', dF

-Sur le rayon MA prenons une longueur arbitraire ME; puis sur le prolongement de MB prenons MF = MExK; achevons le parallélogramme, et menons la diagonale M6; ce sera la normale cherchée.

Si l'on prend ME = MB, on aura

MF=MBXK = MA.-

Fig. 110.

Nous avons vu en cinématique (§ 85) que la tangente au lieu s'obtenait en joignant le point M au point T, intersection de la directrice avec la perpendiculaire BT élevée au point B sur le rayon MB. L'angle GMT est donc droit.

^"^ Lieu géométrique représenté par V équation

rapporté à deux pôles A et B

r-Kr' =

tB.

dr

dF

Prenons sur le prolongement de MA une longueur MC = MB,

fi, o

1^0 IIÊGLE

et sur le côte MB une longueur MD = MB x K = M A ; achevons le parallélogramme CMDE. La „ ^\ diagonale ME est la normale au lieu ^ "\ * .des points M.

On remarquera que le triangloMDE a l'angle MDE = AMB, que le côté DE = MC = MB, qu'enfin DM = AM.

Ce triangle est donc égal au triangle AMB, et l'angle EMD est égiil à 'angle MAB. 11 en résulte que les deux triangles OMA, 0MB, sont semblables, car ils ont un angle commun 0, et langlc BMO égal à MAO. On a donc la série de rapports égaux :

Fig. 111-

Donc