APPLICATIONS AUX PROBLÈMES

généraU à la solution cVun problème de minimum ou de maœi" mum.

Supposons d'abord qu'il s'agisse d'un point glissant sur une surface.

Les équations d'équilibre sont, en appelant X, Y, Z, les sommes des composantes des forces qu'on suppose exprimées en fonction des coordonnées x, i/, z du point mobile, et en représentant par F = 0 l'équation de la surface donnée,

F = a et \Sx-h\Sy-{'2.Sz = 0.

Si Xâic -f- YSj/ H- Zo2 est la différentielle exacte d'une fonction 9 de Xy y,z, ou si la multiplication par un facteur convenable rend cette fonction une différentielle exacte, la condition d'équilibre exprime qu'au point cherclio l'intégrale de cette différentielle est maximum ou minimum, sauf certains cas exceptionnels.

Lorsque X5a; -h YSj/ -h ZS^ n'est pas une différentielle exacte, et ne peut le devenir par la multiplication, on peut remplacer dans cette fonction % et B2 par leurs valeurs en j:^, y, ^Xy oj/, déduites de l'équation F=0; la condition d'équilibre est alors ramenée à une équation de la forme X^^x + Y^cy ==0, qui ne contient plus que deux variables, et qu^on peut 'toujours intégrer en la multipliant par un facteur convenablement choisi. La condition d'équilibre revient donc encore à exprimer qu'une certaine fonction 9 des variables a; et 1/ est, sauf exceptions, minimum ou maximum au point cherché.

Quand le point est assujetti à glisser isur une courbe, il peut se faire encore que XBic-f- YSj/-f-ZB« soit une différentielle exacte, ou le devienne quand on la multiplie par un fadeur X; et alors la fonction (^=^ fX{X^X'^\Zy -hllz) passe généralement par un maximum ou un minimum pour la position d'équilibre. S'il en est autrement, on pourra toujours, au moyen des deux équalions de la courbe, F=0, Fj=0, exprimer y et 2 en fonction de x, et ramener la fonction Xlx -h Yîy -h Zhz à ne contenir qu'une seule variable oj. La quadrature pourra alors s'effectuer, et la fonction ainsi obtenue