DE MAXIMUM OU DE MINIMUM
passera généralement, lorsque le point sera dons sa position d'équilibre, par un maximum oa un minimum.
122. Exemple. — Équilibre iVun point matériel M, assujetti à (jimer sans frottement sur la surface ellipsoïdale définie par l'équation
et attiré vers le centre 0 de cette surface.
La force qui sollicite le point M étant dirigée vers le point 0, nous pourrons représenter ses composantes par les produits
X=iVar, Y = Yy, Z = V5,
V désignant une fonction quelconque de x^ de y et de z. L'équation d'équilibre sera
Le premier membre n'est pas intégrable, sauf le cas où
V est une fonction de x^ 4- j/'-h^s*, ou de la distance MO. S'il en est autrement, on rend la fonction intégrable en la multipliant par { y ; elle devient alors x'^x -h yiy + zlz,
qui est la- différentielle exacte de
Q(x*-f-y*-|-2;»). On en conclut que
les posilions d'équilibre du point M
correspondent aux maxima et aux
miniraa de la fonction x^-h y* -+- ;5% ou, ce qui revient au
même, de la distance OM.
Le calcul direct fait connaître ces positions. Éliminons ^z enlre les équations
yxSx-{-yySy + Vz5z = 0
et
Fig. 114.
XùX
Il vient en multipliant la première par -5, la seconde par
V», et en retranchant
Les équations d'équilibre sont donc
auxquelles on peut joindre
On y satisfait en posant soit V = 0, solution qui doit être écartée, puisqu'elle annule la force; soit deux quelconques d^s trois équations
ce qui définit les sommets de la surface, points Rour lesquels le rayon OM est perpendiculaire à rellipsoïde, et devient généralement maximum ou minimum. On peut observer que le somme! de Taxe moyen n'est, dans ce cas, ni un maximum ni un minimum.
Dans le cas particulier 'de l'ellipsoïde de révolution, si Ton a fl = & par exemple, les équations d'équilibre sont satisfaites, soit par 2 = 0, ce qui donne tous los points de l'équateur AB, soit par a;=0, y = 0, ce qui donne les pôles, C,de la surface.
Enfin, si a=b=€, Tellipsoïde devient une sphère, et, tousses points sont pour le point M une position d'équilibre. En même temps la distance OM reste constante.
