TRAVAUX ÉLÉMENTAIRES

Ce résullal est général, pourvu que Ton tienne compte dés signes. Si F est la fori:c mutuelle qui agit sur les deux poinls A et B, r leur dislance AB, et r'=r-|-rfr, ce que devient la* distancer après lesdéplaccmcnls virtuels imprimés aux points A et B, le travail élémcnlaire des deux forces F a pour expression générale

F X (r' — r) = Fdr,

pourvu qu on prenne les foras F positivement si elles sont répulsives j et négativement si elles sont attractives. Grâce à cette convention, on pourra dire que le travail des deux forces F est égal au produit de leur valeur commune par la variation dry subie parla distance de leurs points d^application.

Si les déplacements virtuels imprimés aux points A et B laissent sans altération la distance de ces deux poinls, dr étant alors égal à zéro, le travail des forces mutuelles est nul.

124. On ne change pas le travail d'une force F, appliquée à un point A, en supposant que celte force soit appliquée en un autre point' B, pris sur sa direction, et invariablement lié au premier. En effet, appliquons au point B deux forces égales et contraires t' et F", toutes deux égales à la force F, et agissant dans la direction de la droite AB. Celte addition de deux forces égales et contraires, appliquées en un même point B, ne change rien à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données. ; car, quel que soit le déplacement infiniment petit qu'on imprime au point B, le travail correspondant de Tune des forces, F', est égal en valeur absolue, et de signe contraire, au travail deTautre force F". L'ensemble des forces F, F', P donne donc une somme de travaux égale au travail de ig. 116. j^ j.^^^^ p p^jg^ seule. Mais les forces F et P

prises ensemble ont, en verlu du théorème précédent, un travail égal au produit de la force F par la variation de la distance AB, et, comme nous supposons cette distance con-

DE DEUX FOUCES MUTl'ELLES. 189

stante, la somme des travaux de ces deux forces esl nulle; il reste donc le travail de la foi ce F', égal au travail de la force F.

125. Le travail élcmcnlaire de deux forces parallùlcsFctF', appliquées à deux points A et B, invariablement réunis l'un à Taulre, est égal au travail de leur. résultante R.

En cffol, la dislance AB restant conslante, la somme des travaux des forces F et F' n'est pas altérée quand on introduit deux nouvelles forcCs fci f, égales et contraires, et agissant d.insla direction AB. Les deux foi ces /et F se composent en une seule forrx G, dont le travail est la somme des travaux des deux composantes (g 1 H) ; de môriic, le travail de la force G' est la somme des travaux de ses composantes F' et f. On ne change pas les travaux des forces G et G' en les supposant transportées au point H, qui appartient à la fois à leurs deux directions, et qu'on peut supposer relié invariablement au système des points A et B (g 124) ; les forces G et G', transportées en H, se composent en une seule force R, qui est la résul- F'g- in,

tante des forces F et F', et dont le travail est la somme des travaux des composantes; enfin, on n'altère pas ce tiavail en transportant la force R dii point II au point I. En résumé, le travail de la force R esl la somme algébrique des travaux des forces F, /*, F', f\ c'est-à-dire la somme algébrique des forces F et F', puisque les travaux fel /*' se détruisent (g 125).

THÉOBÈnC DU TRAVAIL VWTUEL POUR UN SYSTÈME SOLIDE INVARIABLE.

126. Nous pouvons toujours supposer,, en remplaçant les liaisons par des forces qui en tiennent lieu, que le système solide est enliorcmenl libre dans l'espace.

On peut ramener (g 61) à doux forces, F cl F', le système des forces doimées qui sont appliquées aux divers points du système. Dans toutes les opérations que Ton fait pour arriver à cette réduction, on compose où Ton décompose les forces

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d'après la règle du parallélogramme, on les transporte suivant leur (Urcclion en des poinis invariablement réunis aux points d'application primitifs, on les compose ou on les décompose par la règle des forces parallèles; or toutes ces opérations, faites sur un corps solide, conservent sans altération la somme des travaux élémentaires ; de sorte que la somme des travaux des forces F et F' est égale à la somme des travaux des forces données.

Pour l'équilibre du système, il faut et il suffit (g 85) que les deux forces F et F' soient égales, contraires, et dirigées suivant une seule et môme droite. Prenons donc deux points quelconques A et B, l'un sur la direction de la force F, l'autre sur la direction de la force F'; on pourra regar Jer F et F' comme appliquées respectivement en A et en B, et la droite AB sera la direction commune de ces ^eux forces F et F', qtii doivent en outre être égales et agir en sens opposés. La somme des travaux des forces F et F' est égale à zéro, puisqu'elles sont égales, opposées, qu elles agissent suivant la môme droite, et que la distance AB de leurs poinis d'application reste invariable. Par conséquent la somme algébrique des travaux virtuels de toutes les forces^ pour un déplacement quelconque du système matériel est égale à zéro si le système est en équilibre.

Réciproquement, le système matériel est en équilibre si la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui y sont appliquées est nulle pour tout dénlacement infiniment petit qu'on lui communique.

En effet, réduisons les forces données à deux forces F et F', que nous pouvons supposer appliquées, Tune au point A, l'autre au point B^ la somme dés travaux des forces F et F' sera égale à la somme des travaux des forces don* nées; elle est donc nulle par hypo- ^^^^' ^*^' thèse pour un déplacement quelconque

iinprin:é au solide. Considérons les déplacements qu oii peut conimnniquer au solide en le faisant tourner autour du point

POUR UN SYSTÈME INVARIABIE. . m

A devenu fixe; le point Besl assujèlli dans ces mouvements ù rester à la surface d'une sphère dont le centre est en A, et dont le rayon est AB. Le travail de la force F est nul pour tous ces déplacemenlç, puisque le point A reste fixe; le travail de la force F' est donc aussi nul, et par conséquent la force F' est normale aux chemins décrits par le point B, c'est-àdire normale à la sphère sur laquelle ce point se déplace : la direction de la force F' coïncide donc avec la direction AB du rayon de cette sphère. On prouverait de même, en considérant des déplacements sphériques autour du point B, que la force F agit suivant la direction AB. Donc les deux forces F et F' sont appliquées suivant une seule et même direction. Considérons en troisième lieu un déplacement parallèle à cette direction commune; la somme algébrique des travaux des forces F et F' sera égale au produit de leur somme algébrique F 4- F' par ce déplacement; elle est nulle par hypothèse, et par suite F -}-F'=0,cequi nous montre que les forces F et F' sont égales en valeur absolue, et dirigées en sens conlrairos. Le système des forces appliquées au corps solide se réduit donc à deux forces égales, opposées et appliquées sruivant la même droite, et par suite (§ 85) le solide est en équilibre.

ÉQUATIOISS d'équilibre d'uN SYSTÈME INVARIABLE.

127. Les équations d'équilibre posées (§ 76) ne sont que des applications du théorème qui vient d'être établi.

Premier cas. — Considérons un solide libre dans l'espace et sollicité par certaines forces : appliquons à ce système le théorème du travail virtuel.

Imprimons d'abord au solide une translation infiniment petite parallèle à une droite quelconque AB, et soit e la longueur du déplacement, qui est la même pour tous les pointSi Pour trouver le travail des forces appliquées au corps, il suffira de les projeter sur la- direction du chemin décrit (g 106), ou, ce (jûi revient au môme, sur la droite AB; on

192 ÉQUATIUNS

donnera aux projcclions les signes convenables, puis, on multipliera les projections par le cliemin e, cl on fera la somme. Le résultat sera égal ou produit de £ par la somme algébrique des projeclions des forces sur la droite AB;

- le théorème du travail virtuel nous

apprend donc que lorsquun système *^ solide est en équilibre, la somme ahjé-

brique des projections des forces sur une droite AB quelconque est égale à zéro.

Faisons ensuite tourner d'un angle infiniment petit a le système solide autour d'une droite PQ; le travail de chaque force correspondant 5 ce déplacement s'obtiendra (g 103) en multipliant par a le moment delà force par rapport à Taxe PQ ; la somme des Ira- ^.. vaux élémentaires sera donc égale au produit " ~ --— -Jf, par a delà somme algébrique des moments; or elle doit être nulle quel que soit a, en vertu du théorème. Donc lorsquun système solide est Fig. 120. en équilibre, la somme algébrique des moments

des forces par rapport à une droite quelconque est égale à zéro. Il reste à montrer que ces conditions, qui paraissent en nombre infini, se réduisent à six conditions distinctes.

Imprimons au système solide un déplacement arbitraire infitiiment petit; nous savons (I, g 158) que tout déplacement élémentaire d'un système invariable est décomposable en deux mouvements élémentaires, savoir une translation cl une rotation autour d'un axe, cl qu'on peut regarder cet axe comme passant par un .point quelconque du système, en disposant de la translation en conséquence. La translalion peut ensuite être décomposée en trois translations, et la rotation en trois rotations distinctes, en appliquant à chacun de ces mouvements la règle du parallélépipède. Cela étant, par un poinl 0 pris arbitrairement dans l'espace, menons trois axes rectangulaires OX, OY, ÔZ; décomposons lé déplacement élémentaire imprimé au solide en une rotation infiniment petite

DEQUIUBIIE.

VJo

autour d'un axe-OA, passant par le point 0, rotation qui peut elre rcprOscnléc par la droite OA, cl en une translation infiniment petite représentée en grandeur et en direction par une aulre droite, OB. Puis décomposons suivanl les trois axes les deux droites OA et OB ; appelons p, 9, r les trois composantes* de la rolalion OA, et Ç, y), Ç les trois composantes de la translation OB. Pour trouver le travail d*une force (g 115) on peut décomposer comme on voudra celle force et le chemin décrit par son point d'application. Le chemin décrit par un point quelconque M du corps csl la résultante des trois déplacements Ç, yj, Ç, parallèles aux axes, déplacements dus à la translation et communs à tous les points du solide, et des trois rotations, p, q, r, du solide autour des mêmes axes.

* Décomposons de même en trois composantes X, \, Z lès forces appliquées aux divers points M. II restera à associer chacune dts composantes à chacun des déplacements, puis à faire la somme des produits résultants.

Relativement au déplacement |, les forces ¥ et Z, perpendiculaires à ce déplacement, ne donnent rien, et le travail se réduit à XÇ; la sommé des travaux sera donc exprimée par

Fig. i21.

ou bien par

XiH-Xj$+X5Ç-+- ...+X«ç,

(X,+ x»-hX5 + ...+X5)ç = $5:x,

somme étendue à toutes les composantes parallèles 5 l'axe OX,

De même, le déplacement y] donnera une somme de travaux égale à

et le déplacement Ç une somme égale à

(Z, H- z, H-Z5+ . . . +Z«;Ç = rSZ.

U. — MÉC. COLUCKOir. 13

19 i équations'

Les déplacements angulaires p, q, r donnent lieu chacun à une somme de travaux égale à la somme des produits par p, 9,rdes moments des forces par rapport aux axes (g 114). Appelons

L|, Lg, . . . L», • Mj, Mj, . . . Ma,

Ni, Na, ... Nn,

les moments des forces données par rapport aux trois axes; les sommes des travaux correspondants seront :

(N4+Na+...-fNn)Xr=r2N.

Réunissant toutes ces sommes par voie d'addition algébrique, il vient, pour le total des travaux correspondants au déplacement considéré,

somme que nous égalons à zéro, pour exprimer les conditions d'équilibre. Mais le déplacement considéré est tout à fait arbitraire; par conséquent nous pouvons atlrïbuer aux coefficients Ç, yj, Ç, p^ ç, r telles valeurs que nous voulons, et pour que l'équation résultante soit toujours satisfaite, quelles que soient les valeurs qu'on substitue aux arbitraires, il faut et il suffit que les facteurs qui multiplient ces arbitraires soient séparément nuls, c'est-à-dire qu'on ait les six équations : .

2X = 0, 2L = 0, 2Y=rO, 2'.î=:0, 2Z = 0, 2N r= 0.

Cesontles équations que nous avions trouvées au g 87 en suivant une marche différente.

128. Deuxième cas. — Le corps solide a un point fixe, 0. ^ Imprimons au solide un déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons; ce déplacement consistera (I, g iSi)

D'ÊQUIfcIBRE. • 195

en une rotation infiniment petite autour d'une droite OA passant par le point 0 ; là somme des travaux des ïovCes sera égale à la somme algébrique de leurs moments par rapport à Taxe OA, multipliée par le déplacement angulaire du corps ; le théorème du travail virtuel montre donc que la somme algébrique des moments des forces extérieures, par rapport à toute droite passant par le point 0, est égale à zéro.

Si Ton imprimait au corps un déplacement virtuel non comr patible avec les liaisons, par exemple une relation infiniment petite autour d'un axe ne passant pas par le point 0, on obtien- . drait un théorème frnalogue,. mais il faudrait comprendre dans l'énoncé de ce théorème le moment de la réaction du point fixe. L'adoption de déplacements compatibles avec les liaisons a en général pour objet d'éliminer les réactions inconnues.

Par le point 0 menons trois axes rectangulaires, et décomposons la rotalion autour de OA en trois rotations autour de chacun des axes. La somme des travaux élémenlaires des forces sera égale à la somme algébrique des produits obtenus en multipliant, respectivement les sommes des moments pris par rapport aux axes, par les déplacements angulaires correspondants ; égalant à zéro la somme résultante, on aura l'équation générale de l'équilibre, équation qui se décomposera en trois autres, en tenant compte de l'indétermination des arbitraires,. En résumé, on retrouvera les Irois équalions d'équilibre (§ 88), exprimant que les sommes des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires sont séparément nulles.

129. Troisième cas. — Le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Le seul déplacement compatible avec les liaisons sera une rotation infiniment petite autour de Taxe ; la somme des travaux des forces extérieures sera donc égale à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à Taxe, mullipliée par le déplacement angulaire, et l'application du théorème conduit ainsi à égaler à zéro la somme des moments des forces par rapport à Taxe de relation (§ 89).

Ici encore, le choix du déplacement virtuel a pour consé-

190 * ÉQI'ILIBIIE D'UN SOLIDE

c[ucnce d'éliminer les réaclions inconnues, c'est-i-tlire les forces tenant lieu des liaisons.

130. Quatrième cas. — Le corps solide est assujctii à glisser sans (roltement sur un plan fixe.

l** Si le contact du corps cl du plan est établi p»nr un point unique, les déplacements virtuels compalibles avec les liaisons pourront consister en une translation parallèle au plan el en une rotation autour d'un axe mené par le point. Ces mouvc: ménls sont décomposables, le premier en deux translations parallèles à deux axes rectangulaires tracés dans le plan fixe par le point de contact, le second en trois relations, dont deux autour de ces deux mêmes axes, el la Iroisième autour de la normale au plan. Les conditions d'équilibre sont donc aii nombre de cinq, savoir : deux équations exprimant que la somme algébrique des forces projetées sur chacun des axes tracés dans le plan est nulle; et trois équations exprimant que la somme algébrique des moments par rapport à chacun des trois axes est aussi nulle (g 91,1^). -

Le corps peut être simplement posé sur le plan ; on pourra admettre comme compatible avec les liaisons un déplacement parallèle à lanormale au plan, mais dirigé dans un sens particulier. A ce déplacement correspond un travail positif de la réaction du plan, et ce travail, ajouté aux travaux des autres forces, doit donner zéro pour somme. On doit donc joindre une condition aux cinq que nous avons déjà posées : la somn>e des travaux correspondants à un déplacement du corps parallèle è la normale, dans le sens où ce déplacement est admissible, doit être négative; en d'autres termes la somme des projections sur la normale des forces extérieures qui tendent à appu\er le corps contre le plan, doit être plus grande en valeur absolue que la somme des projections contraires.

2° Si le contact est établi par deux points, il n'y aura plus lieu de considérer que trois déplacements distincts, savoir : deux translations parallèles respectivement à deux axes rectangulaires tracés dans le plan, et deux rotations, l'une au-