TENANT LIEU DES LIAISONS

système serait simplement posé sur la surface et pourrai! s'en détacher dans un sens.

5° Le travail dû à la réaction normale d'une courbe fixe, le long de laquelle le système serait assujetti à gUssor, est nul de lui-même. Tout déplacement compalible avec ce genre de liaison n'introduira donc aucun terme contenant la réaclion inconnue.

Si la surface ou la courbe. directrice exerçait un frottement sur le système, il faudrait au contraire tenir compte du travail correèpondant à ce frottement.

- 4° Quand deux points matériels sont réunis l'un à l'autre par une tige de longueur invariable , le travail des actions mutuelles de ces deux points est nul pour tout déplacement Commun compatible avec celte liaison.

5* Enfin, étudions le cas particulier où deux portions du système se touchent par deux surfaces qui glissent Tune sur l'aulre sans frottement. La réaction mutuelle des deux surface^ est normale au point de contact. Considérons un déplî cenjcnt infiniment petit compatible avec ce genre de liaison» c'est-à-dire laissant les deux surfaces tangentes. Les deux surfaces S, S' tangentes en M, se transportent par suite de ce déplacement dans les positions S^, S'^; s' '**wij-/— ^1^7— elles sont encore tangentes en un certain point N : ce point ne coïncide pas en général avec les positions géométriques prises par les deux points matériels appartenant, l'un à la surface S, Tautre à la surface S', qui coïncidaient au point M. De ces deux points, l'un se transporte en M^, Taulre en M^, et par suite la somme des travaux des deux forces égales, R, R', est exprimée par

P X (Mm' — Mm),

mf et m étant les projections des poinis M^ et M\ sur la direcotin commune, RR', des deux forces.

Or les poinis M^ et M'^ sont situés à des distances infini-

ment petites du point N, par lequel se touchent les deux surfaces; on peut les regarder comme appartenant au plan tangent commun mené aux deux surfaces par ce point; ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan tangent au point M^ . . H diffère infinimenl peu d'un plan normal à la droite RR'; par suite, la distance mrn^ est un infiniment petit du second ordre, et enfin la différence Mîn' — Mm est égale à zéro, •aux infiniment petits du second ordre près. La somme des travaux virtuels des forces R et R' est donc égale à zéro, et la proposition est vérifiée.

Si les surfaces S et S' exerçaient un frottement l'une sur Tautre, il n'en serait plus de même, car la réaction mutuelle pourrait être oblique aux. deux surfaces, et fournir un certain travail.

Dans tous les cas que nous venons d-examiner, on n'aura pas à évaluer le travail virtuel des forces dues aux liaisons, si Ton imprime au système des déplacements qui soient compatibles avec ces liaisons, c'est-à-dire qui les laissent subsister pendant le déplacement. *

154. Mais alors la démonstration de la réciproque du théorème général (§ 131) doit être modifiée. Nous avons d'abord élabli que lorsqu'un système matériel est en équilibre, la somme des travaux virtuds de toutes les forces qui le sollicitent ^ pour un déplacement virtuel quelconque, est égale à zéro) celte proposition s'applique aux déplacements compatibles avec les liaisons comme à tous les autres, et nous venons de montrer que pour ceui^-là on pai liculier le travail des forces dues aux liaisons est identiquement nul. Nous avons ensuite démontré la réciproque : si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre. Mais, pour cela, nous avons considéré des déplacements affectant un point unique du* système?, et laissant les autres immobiles. Cette hypothèse-supposé les points matériels libres et indépendants, et elle est contradictoire avec l'existence de liaisons qiie les déplacements imprimés au système doivent laisser subsister^ Nous avons donc à démontrer pour ainsi