USAGE ANALYTIQUE

les coordonnées rectangulaires de « points composant un système à liaisons..

Les liaisons de ce systi^me sont exprimées par k équations

^1 (x, y, ;, x\ y\ a', a;", y", z'\ ... ! = 0, 9%[^*yf -» ) = 0,

contenant les coordonnées des points donnés.

Ces points sont, en oulrc, soumis chacun à des forces données, que Ton peut décomposer suivant les trois axes; ce qui donne les composantes X, Y, Z pour le point x, j/, %, les composanles X', Y', T pour le point x\ y\ z\ et ainsi de suite.

On demande les conditions d'équilibre.

Le théorème du travail virtuel nous apprend que ces conditions sont toutes contenues dans Téqualion générale

(2) * \Bx + "i^y-jtr l-'Z + V^x' 4- Y'^y' + Z'^s' -f V'oz" -f . . . = 0,

quels que soient les déplacements inliniment petits ox, 3j/, Sis, . . . pourvu qu'ils soient compatibles avec les liaisons, c'est-à-dire pourvu qu'ils satisfassent aux équations (1).

On exprimera cette condition en différentiant les fc équations (1), ce qui donne le groupe (3) :

dx dy . dz dx' i >

è-^^+'t"> + S'^^^fe^--^-=».

' dx dy ^ dz dx'

Ces fc équations contiennent les 3w vanaiiom Ix, oj/, 82, ... ; elles permettent donc d'exprimer fc variations en fonction des 5n — fcautres, qui restent arbitraires. Substituant dans l'équation (2) les valeurs des fc premières variations, on ramènera

DU THÉORÈME DU TIîWAIL VinTLEL. 205

celte équation à ne contenir que les 37t — k variations restantes, et, comme elles sont arbitraires, on devra égaler se parement à zéro les fonctions qui les mulliplient. On oIjtiendra ainsi on — fc équations, qui ne conlienncnt plus rien d'arbitraire, et qui seront les conditions d'équilibre des forces. Jointes aux fc équations (i), elles déterminent les on coordonnées des points mçbiles.

156. La méthode suivante, indiquée par Lagrange, a l'avantage de faire connaître les forces qui tiennent lieu des liaisons, ou, comme on dit, les tensions des liens.'

Multiplions la première des équations (5) par une indéterminée \^ la seconde par une autre indéterminée X,, la troisième par une Iroisièmc indéterminée X3,... et ainsi de suite jusqu'à la dernière, qui séria multipliée par X». Ajoutons ensemble l'équation (2), et les k équations (3) ainsi multipliées. La somme nous donnera

On pourra disposer des k arbitraires Xp ?,,..., X^. de manière* à réduire séparément à zéro les coefficients de k varia tions particulières; on substituera ces valeurs dans les coeffi. cienls des 3;i — k autres, et on devra les, égaler à zéro pour exprimer l'équilibre : cela revient à égaler indistinctement à zéro les coefficients des 5n variations dans Téqualion (4); on sera conduit ainsi apposer les 3m équations :

Les équations d'équilibre s'obliendronf en tiranl de k équa-