CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION

APPUGATION DU THÉORÈME DU TRAYAIL VIRTUEL A LA CINÉMATIQUE.

140. Nous allons montrer quel parti on peut tirer du théorème du travail virtuel, et plus généralement de la slalique, pour démontrer des propositions de cinématique. Ces démonstrations sont toutes fondées sur la propriété d'une surface, ou d'une courbe géométrique, d'exercer une action normale sur un point assujetti à la parcourir.

CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION d'uNE FIGURE PLANE MOBILE DANS SON PLAN.

141. Soient A,B, M, trois points d'une figure plane mobile dans son plan. Soient AA' la trajectoire du point A et BB' la trajectoire du point B.

Nous supposerons que la figure est guidée dans son mouvement par des lignes directrices AA', BB', sur lesquelles les points A et B sont assujettis à glisser sans froltement, ce qui suffit pour faire de la figure un système à liaisons complètes. Le point M décrit une certaine trajectoire MM', et si ojfi lui applique une force F normale à cette trajectoire, la figure sera en équilibre, car la somme des travaux de la force F et des réactions N et N' de3 lignes directrices est nulle, puis- *^'

que les réactions N etN' des lignes directrices sont normales à ces lignes, et qu'il en est de même de la force F, par rapport à la trajectoire de son point d'application M.

Les trois forces F, F' et N se font par conséquent équilibre ; leurs directions passent donc par un même point 0 ; en d'autres termes, les normales menées au même instant aux trajectoires des divers points de la figure concourent en un même point, centre instantané autour duquel la figure pivote (I, g 1 51 ) .

THÉORÈMES SUR LE MOUVEMENT ÉLÉMENTAIRE d'uN S0LU)E.

142. Les liaisons auxquelles le corps solide est assujetli s'expriment par des équations où entrent les coord<>nnées d'un certain nombre de points particuliers du système, que nous appellerons points dirigés ; nous commencerons par chercher le nombre N de ces points, suivant la nature des liaisons, et suivant le degré de liberté qu'on veut laisser au système mobile.

Supposons d'abord que N soit égal ou supérieur à 3.

Parmi les N points dirigés, nous admettrons qu'il en y ait f qui restent fixes, / qui soient assujettis à glisser sur des lignes fixes, et s qui soient assujettis à glisser sur des surfaces, ces points, lignes et surfaces fixes étant d'ailleurs entièrement arbitraires. Nous aurons la première équatimi

Les coordonnées des N points sont au nombre de 3N, et nous savons qu'entre ces coordonnées il y a 3N — 6 relations distinctes, exprimant que les distances mutuelles de trois points, et les distances de chacun des N— 3 autres aux trois premiers sont constantes (I, § 122). Les liaisom intérieures du système nous donnent donc d'abord 3N — 6 équations. Celle formule suppose N = ou > 3,

Les f points fixes sont définis par 3/" équations, qui font connaître leurs 3/ coordonnées.

Les coordonnées des / points mobiles sur des lignes sont assujetties à satisfaire à 2/ équations, chaque ligne étant représentée analyliquement par deux équations.

Enfui; les coordonnées des s points mobiles sur des surfaces satisfont aux s équations de ces surfaces.

Les liaisons extérieures donnent donc 3/"-!- 2/ + s équations; réunissant toutes les équations de condition, on a, entre les

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5N coordonnées des points considérés, un pombre d*équalions égal à

OU bien, en remplaçant )f + / + s par N,

Gela posé, si le nombre de ces équations, supposées distinctes^ est égal au nombre des coordonnées, le système resie fixe, car les coordonnées de chaque pointent alors des valeurs constantes définies par ce système (Véquations.

Si le nombre des équations est inférieur d'une unité au nombre des coordonnées, l'une des coordonnées reste arbitraire, et toutes les autres peuvent s'exprimer çn fonction de celle-là; tous les points du solide sont donc assujettis, par les liaisons, à. décrire des lignes.

Si enfin le nombre des équations est inférieur de deux unités au nombre des coordonnées, deux coordonnées restent arbitraires, et, par suite, à partir de chaque position du système, on peut le dépbcer dans une infinité de directions, chacun de ses points restant sur une surface, sauf certains points particuliers qui peuvent être encore assujettis à décrire des lignes. Nous allons reprendre une à unô ces diverses hypothèses.

1** Pour que le système soit fixe, il faut que Ton ait

ou bien

Les solutions de cette équation sont les suivantes :

2° Pour que les poinls du système décrivent chacun des lignes, il faut que Ton ait

ou bien

ce qui donne successivement :

3° Pour que les points soient assujettis à décrire des surfaces, il faut que

OU bien que

ce qui donne seulement les deux solutions :

Jusqu'ici nous avons exclu l'hypothèse N<3. Examinons successivement les cas particuliers de N=2 et N= 1 .

(13) Si N=2, les points du système sont assujettis à décrire des lignes quand les deux points dirigés restent fixes; le système a alors un mouvement de rotation autour de Taxe qui joint ces deux points.

(14) Les poinls du système sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces, quand les points dirigés glissent le long de la droite qui les joint.

(15) SiN = l, les points du système sont assujettis à décrire des sphères autour du point dirigé comme centre, quand ce point reste fixe.

143. Appliquons la slatiqueà chacune de ces quinze hypothèses.

Dans les six premières,, le solide est fixe; une force appli-

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quée à un point quelconque du solide, dans une direction quelconque, est donc équilibrée par les réactions exercées sur les points dirigés.

Dans le cas (1), les réactions sont normales aux six surfaces directrices, qui sont arbitraires ; donc un6 force quelconque estj en général, décomposable suivant six directions don-' nées.

Dans le cas (2), Tune des réactions, celle de la ligne, est conlenue dans le plan normal à cette ligne ; donc une force quelconque est, en général^ décomposable en dhq composantes^ dont quatre aient des directions données, et la cinquième passe par un point donné et soit contenue dans un plan donné.

Dans le cas (3), Tune des réactions, celle du point fixe, passe par ce point; une force quelconque est donc décomposable. en quatre forces^ dont Vune passe en un point donné, et les trois autres aient des directions données.

Le cas (4) nous montre de môme qWune force quelconque est décomposable en qualité forces, dont deux aient des directions données, et les deux autres passent par des points donnés et soient contenues dans des plans donnés.

Les cas (5) et (6) font voir ([u*une force quelconque est décomposable en trois forces, dont Vuhe ait une direction donnée, dont la seconde passe par un point donné et soit contenue dans un plan donnée et dont la troisième passe par un point donné; et qu'une force quelconque est décomposable en trois forces, dont chacune passe par un point donné et soit contenue dans un plan donné conduit par ce point,

144. Dans les quatre hypothèses (7) à (10), le système reste en équilibre sous Taction d'une force quelconque appliquée en un point M perpendiculairement à la ligne que décrirait ce point dans le déplacement du corps. Le septième cas montre, par exemple, qu'une force quelconque, normale à la trajectoire du point M, est décomposable en cinq forces normales aux cinq surfaces directrices.

145. Dans Phypothèse (11), le mouvement du solide est dirigé par le glissement de quatre points particuliers sur quatre

surfaces fixes. Tous les points décrivent alors en général des surfaces, et l'équilibre a lieu si l'on applique en un point du solide une force normale à la surface décrite par ce point. De cette considération on peut déduire le théorème suivant, dû à M. Mannheim K

Les quatre points A, B, C, D d'un corps solide sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces fixes (a), (p), (y), (5) ; en général, le lieu d'un point quelconque^ du solide est alors une cinquième surface détei^minée (s). Considérons les normales kk\ BB',CC', DD', EE' menées à ces cinq surfaces par les positions occxipées simultanément par les points A, B, C, D, E. Les deux droites X et V, qui rencontrent les quatre premières normales^ rencontreront aussi la cinquième.

Nous pouvons regarder les quatre surfaces données comme des surfaces directrices matérielles sans frottement, et la cinquième (e) comme le lieu géométrique du point E. En vertu du théorème du travail virtuel, le système sera en équilibredans la position qu'on lui attribue, si nous lui appliquons, au point E, une force normale à la surface (s) ; la force F est alors tenue en équi-

Vitr 4 9.R

"* ' libre par les réactionsnormales

des surfaces données. Donc la somme des moments de la force F et des quatre réactions est égale à zéro par rapport à un axe quelconque ; et si Ton prend pour axe la ligne X, ou la ligne )/, pour lesquelles les moments des réactions sont nuls, le moment de la force F sera également nul pour toutes deux, et par suite la direction EE' de cette force rencontre à la fois les droites X et X'.

Connaissant les normales en A, B, C, D aux quatre surfaces directrices, on aura la normale à la surface décrite par un

Journal de V École polytechnique , 1870.

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cinquième point E, en menant par ce point une droite EE', qui rencontre les deux droites X et X'.

on voit que, quel que soit le mouvement infiniment petit imprimé au corps, il tourne à la fois autour des deux axes fixes X et X', qui se trouvent ainsi jouer le rôle d'^axes de rotation cojijugués (I, §157). Chaque point de Tun des axes tourriant seulement autour de Tantre, décrit, dans le déplacement élémenlaire, un élément de circonférence qui a son centre sur Taxe conjugué; de sorte que les points situés sur les droites X et X', au lieu d'être assujettis à glisser sur des surfaces, comme les autres points du corps, sont assujettis à décrire, pendant un temps infiniment court, des éléments de trajectoire.

146. De l'hypothèse (12) on déduirait, par la même méthode, le théorème suivant :

Le point A d'un corps solide est assujetti à se mouvoir sur une ligne fixe (a), et les deux points B et C à se mouvoir sur des surfaces fixes (p), (y). Le lieu d'un quatrième point D est^ en général^ une surface déterminée (8). Si par le point A nou^ menons une droite rencontrant les deux normales aux surfaces (p) et (y), menées par les points B et C, cette droite rencontrera aussi la normale û la surface (S), menée au point D; et si Von fait glisser une droite sur les normales aux trois surfaces (P), (y), (5), rhyperboloide ainsi engendré coupera suivant une droite le plan normal P à la trajectoire (a), mené au point A. Celte droite représente la direction de la réaction de la ligne (a) .

Proposons-nous de construire la normale DD' à la surface (S) au point D (fig. 127).

Par le point A, menons la droite AM, rencontrant les deux droites BB', CC, normales aux surfaces (P), (y). La normale DD' sera comprise dans le plan DAM.

On sait de plus que Thyperboloïde engendré par une' droite mobile glissant sur les trois droites DD',BB', CC, coupe le plan normal P suivant une droite passant au point A. Le point D appartient à la surface de cet hyperboloïde. Par ce point, menons une droite DN rencontrant les directions BB', CC La droite DN

sera tout entière sur la surface de Thyperboloïde. Elle perce le plan PP en un point A', qu'on joindra au point A. La droite AA' sera l'intersection de Thyperboloïde avec le plan P, et sera

par suite Tune des génératrices rectilignes de l'hyperboloïde.On peut donc concevoir cette surface comme engendrée par le glissement d une droite qui s'appuierait sur les troisdirectrices AA',BB',CC'.

Il suffit par conséquent, pour ^'^- *^''- acheyer la solution, de con-

struire une troisième droite EF, rencontrant à la fois ces trois direclrîces, puis de mener par le point D une droite DD' qui rencontre les deux droites AM et EF.

Dans les hypothèses (15), (14) et (15), les normales aux lieux décrits par les divers points du corps sont immédiatement connues.

ÉQUILIBRE d'un SOLIDE DONT UN, DEUX OU TROIS PODÎTS SONT ASSU- JETTIS A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UNE SURFikCE FIXE.

147. Les résultats obtenus (§91) pour l'équilibre d'un solide posé sur un plan peuvent être généralisés en remplaçant le plan pax une surface quelconque.

I. Si le solide touche la surface en un point unique 0, il faut et il suffit pour l'équilibre que les forces appliquées au corps soient réductibles à une force unique, passant par le point 0, et normale à la surface.

II. Supposons que le solide touche la surface en deux points A et B. Les réactions (A) et (B) de la surface en ces points seront dirigées suivant les normales aux points A et B ; et ces deux forces, dont les directions seules sont déterminées, doivent faire équilibre au système des forces données. Il faut el il suffit par conséquent pour l'équilibre que les forces don-

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