SUR UN POINT EXTÉRIEUR
tion exercée sur le point À par la zone FBF', située à gauche du pla'n FF', a donc pour mesure
de même laltraclion exercée sur le point A par la zone FCF', qui complète la sphère, a pour mesure
H..= 2jrM|><R^^^C-AF + AF-A0) = ?^^
DoncH' = H".
L*allraciion de la sphère entière est la sonime H' -f- H", ou bien 2H', ou enfin
Pour la sphère entière, la somme de tous les éléments KM est égale au diamètre, tandis que la somme des éléments LI, qui sont posilifs pour toule la zone BF, et négatifs pour toute la zone FC, se réduit à zéro.
L expression — - — ^ peut s écrire de Ja manière suivante :
Or la surface de la couche sphérique a pour mesure 47cR*. Le produit de celte surface par p est la quantité totale de matière contenue dans la couche; si on appelle M cette quantité, l'attraction a pour mesure
/•Mm
"^' c esl-à-dire qu'elle est égale à l'attraction exercée sur la molécule A par une molécule contenant la quantité M de matière, placée au centreOdela couche sphérique. En d'autres termes, U7ie couche sphérique homogène exerce sur un point matériel extérieur la même attraction que si toule la matière form^ant cette couche était concentrée en son centre. On peut en dire autant de chacune des couches sphériques
U. — MÉC. COLLIGNON. 16
homogènes dont nous avons suppose le globe allirant composé; de sorte que rattraction exercée sur un point extérieur par une sphère massive, composée de couches, concentriques homogènes, est la même que si toute la rriatière de la sphère était concentrée en son centre.
159. Si enfin on considère deux sphères massives S et S', composées chacune de couches conceniriques homogènes, on ne changera rien, en vertu du théorème précédent, à l'attraction exercée par la sphère S sur un point matériel pris dans la sphère S', en réunissant toute la matière de la sphère S en son centre 0. On est ramené par là à considérer 1 attraction exercée par le point matériel fictif 0 sur tous les points de la sphère S', attraction égale à celle que tous les points de la sphère S' exercent gur le point matériel 0. Appliquant de nouveau le théorème, on pourra supposer que toute la matière de la sphère S' est concentrée en son centre 0^ de sorte qu'en résumé on n'altère pas les attractions mutuelles en cour centrant à la fois la matière de la sphère S' en son centre 0, et la matière de la sphère S' en son centre 0'. Deux sphères maté^ rielles, composées chacune de couches concentriques homogènes, s^attirent donc de la même manière que si la matière de chaque sphère était réunie en son centre.
160, Voici pour le même théorème une démonstration géométrique plus rapide.
Soit (fig. 137) 0 le centre de la couche sphérique, OB son rayon, et A le point attiré.
Considérons un élément de surface MM'; l'action qu'il exerce sur le point A est dirigée suivant AM, et a pour valeur
/mpXsurf.MM'
sa composante suivant AO est égale à
/mp X surf. MW/^^ ,
' '^ ' ^ XcosA.
AM
Au point M, faisons l'angle PMO = MAO. La droite Ml* noupe la droite OA en un point P qui est fixe sur cette droite*
Googte
DES SPHËhE6 HOMOGÈNES.
En effet, les triangles OMP,OAM ont un angle commun en 0, et deux angles égaux; ils donnent la proportion
OP
OM
'' Ok
Fig. 137.
quantité constante quel que soit le point M. On peut observer que P est conjugué harmonique de A par rapport aux extrémités B et B' du diamètre AO.
Du point P comme centre avec un rayon égal à PM, décrivons un fragment de surface spliérique, et considérons sur cette surface la portion Mm interceptée par le cône qui a le point P pour sommet et l'aire MM' pour base. La surface élémentaire Mm sera la projection orthogonale sur cette sphère de l'élément MM'; et comme Tangle des deux surfaces est égal à Tangle OMP = A de leurs normales respectives, on aura surf- MH'xcosA = surf. Mm. Les triangles semblables OMP, OAM donnent de plus
