RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITE. METHODE GÉNÉRALE
168. La rccherqjie du centre de gravité d'un système matériel se ramène immédiatement à la recherche du centre des forces parallèles (g 34). Il suffit d'appliquer à tous les points matériels du système des forces parallèles, de même sens, et proportionnelles chacune au poids ou. à la quantité de matière contenue dans ce point. Puis on emploie les formules du § 48, c'est-à-dire les équations des moments par rapport h trois axes rectangulaires; on trouve ainsi les trois coordonne.es du point cherché.
Soit, par exemple, un système formé de n points, dont les coordonnées sont
xm
. • yn.
et dont les poids sont respectivement
. Pi p% ... pm , le poids total P du système sera
et les coordonnées X, Y, Z du centre de gravité seronl données par les équations:
V ]u^\+'ri^i+ •
. + pr^n ^px
ip
. 4- pnZtt 2^3
Remarque L — Si Ton multiplie par un même nombre k les 3n coordonnées des n points donnés, les coordonnées du centre de gravité de ces n points sont multipliées par ce nombre k. En multipliant les trois\ coordonnées 0&, ba, ak. d'un point A par un même nombre k^ on obtient les coordonnées Ob', Va\ a'h! d'un §econd point A', situé sur la droite OA, à une distance OA' du point 0 égale à OAx fc. Par conséquent, la figure que Ton obtiient en multi-. pliant par un même nombre les 3n coordonnées des points donnés, est une figure semblable à la figure donnée, et k est
ie rapport de similitude; les coordonnées du centre de gravité sont multipliées par le même • nombre ; donc le centre de gravité de la seconde figure est le point homologue du centre de gravité de la première, et dans des figures semblables (les poids des points homologues étant les mêmes, ou variant d\me figure à Fautive dans un même rapport) les ceiïtres de gravité sont des points honiologties (cf. g 139).
Remarque IL — Considérons séparément les deux premières équations. Elles font connaître les coordonnées X et Y du centre de gravité des points p^, jp^,...^», projetés en conservant leurs poids sur le plan XOY. Donc le centre de gravité de la projection d'un système donné sur un plan eut la projection du centre de gravité de ce système. 11 en est de même de la projection du système sur une droite: hacune des équations, prise isolément, le démontre.
Fi«. 145.
169. Lorsqu'on a à déterminer le ccnlrc de gravité d'on syslème matériel continu, tel qu'uii corps solide renfermant un nombre indéfini de molécules, les sommes précédentes se composent d*une infinité de termes, et se changent en intégrales. On peut procéder, par exemple, de. la manière suivante.
Soit A le solide donné; prenons trois axes rectangulaires, OX, OY,OZ, et décomposons le corps en éléments infiniment petits dans les trois sens, par une triple série de plans parallèles aux axes, menés à des distances infiniment petites les uns des autres. Tout élément a, sauf ceux qui sont voisins de la surface terminale du corps, et qu'on peut soit négliger, soit compléter, sans altérer les sommes cherchées, a pour volume le produit dxdydz; soitp le poids de Vunité de volume au point a, poids qui est constant lorsque le corps est homogène, et qui est supposé connu en fonction des coordonnées a?, y, 2 du point a, dans le cas contraire. Le poids de Télément sera
pdxdydZf
et par suite les coordonnées Ç, tj, Ç du centre] de gravité seront données par les trois équations :
f = iiJP^dxdydz ^ jfjpdxdyclz ' ^ __ fSSpydxdydz ^~ SSifAxdydz' y Sffpzdxdydz ''- SfSi:dxdydz'
Les limites des intégrations sont celles qui correspondent ilasurracc terminale du corps, de manière à prendre tous les éléments matériels compris sous cette surface, et à ne prendre que ces éléments.
Fig. Ui.
