II. — HkC. COLLI(iNO

On pourra commencer par int(^grer par rapport à «, en laissant oî et j/ constants. Lés valeurs de x et de y définissent un point w du plan XOY, et une parallèle wa à Taxe OZ. Cette parallèle coupe généralement la surface terminale du corps en deux points 3 et y, qui sont définis par deux valeurs z'et z" de l'ordonnée z; ces deux valeurs sont des fonctions connues de a; et de y. Les intégrales une fois faites s'appliquent à la partie du système comprise dans Télément prismatique Py> Gt ne confiennent plus que les variables x et y. On fera la seconde intégration par rapport à j/, en traitant x comme une constante; cela revient à faire varier y du point p au point 9, entre des limites y% y"^ qui sont fonctions de a? seul. Enfin, on intégrera par rapport à x la fonction résultante, entre les limites correspondantes aux parallèles mm\ nn\ menées à Taxe OY, tangentiellement au contour de la projection MN, c'est-à-dire entre deux limites constantes, a et b. On peut indiquer ces diverses opéralions successives en écrivant les équations sous la forme suivante :

= & /•y=y''=îi(«) /»«=a''=/"i(«.y)

xdx I dy \ pdi

dx I dy I fAz

dx \ dy p

/dxf dy j f4z a J xi J zf

a t/ y' J zf

/dx \ dy 1 pzdi a J yf J 7i

170. Des méthodes analogues peuvent être suivies pour déterminer le centre de gravité d'une aire matérielle terminée à un contour donné, ou d'une ligne matérielle finie, terminée en deux points donnés. S'il s'agit d'une surface plane, on

partagera Taire dont on cherche le centre de gravité en bandes par des plans parallèles infiniment rapprochés, et on aura à faire plusieurs quadratures, l'une pour obtenir ia somme des surfaces élémentaires, les autres pour obtenir ia somme des produits de ces surfaces par leurs distances respectives à des plans fixes. S'il s'agit d'une ligne, on la partagera en tronçons infiniment petits, et on procédera de la même manière.

Les coordonnées du centre de gravité d'une surface rapportée à des coordonnées rectangulaires sont données par les formules :

SJpydxdysJi -hp'-hg^

SSpdxdy\/\-^p^'-^q^'

^^fSpidxdy\/\ -r-;>* + y^^ '' Jjpdxdy>J\^.^^q^ '

dz où p désigne la dérivée partielle, -r- ^ de z par rapport à x, et

dz q la dérivée, -r-, par rapport à y. Les intégrales doubles sont

limitées au périmètre de l'aire dont il s'agit.

171. Prenons pour exemple la recherche du centre de gra vile d'un triangle homogène, OAB (fig. 145).

Du point 0, abaissons OX perpendiculaire sur le côté AB du triangle, puis menons OY parallèle à ce môme côté. Nous prendrons pour axes les droites OX et OY. Soit OP = /i la dislance de la base AB du triangle à Torigine 0. Prenons les momenls par rapport à l'axe OY, ce qui nous fournira la valeur de l'abscisse X du centre de gravité cherché.

Pour cela décomposons la surface du triangle en bandes, mnnfm'j infiniment étroites, par une série de droites équidistantes, menées parallèlement à l'axe OY. L'aire élémentaire de l'une de ces bandes est exprimée par le produit mn X dx, le facteur dx représentant la distance des deux

t200 CENTRE

droites infiniment rapprochées mn^ m'ri. Or OM=a?, et les triangles semblables Omn, OAB, nous donnent la proportion