CENTRE DE GRAVITÉ DU PRISME DROFT HOMOGÈNE
172. Soit AB un prisme droit homogène, terminé en A et B à deux plans perpendiculaires à ses arêtes. Le centre de gravité de ce prisme sera situé dans le plan MN mené à égale dislance des plans des bases A et B.
Celle proposition résulte immédiatement de la symétrie du système par rapport au plan MN. On peut aussi la vérifier en décomposant le prisme en une infinité d'éléments matériels infiniment petits, qu'on supposera sollicités par des forces parallèles entre elles et au plan MN, et proportionnelles à leurs poids respectifs. On prendra ensuite les moments de ces forces par rapport à un axe quelconque tracé dans le plan MN ; la somme des moments sera nécessairement nulle, puisque à chaque force appliquée à un élément pg correspond une force égale et parallèle, appliquée à l'élément symétrique p'ç', et donnant un moment égal en valeur absolue, mais ^ de signe contraire; ces deux moments se *^* détruisent donc dans la somme. Le plan MN contient par conséquent le centre de gravité cherché.
Cette conclusion est encore vraie pour un prisme droit non homogène, pourvu que la distribution de matière soit symétrique par rapport au plan moyenWi; c'est-à-dire pourvu que deux éléments égaux, pç, pY, également distants du plan MN, renferment chacun la même quantité de matière.
CoROLLAKE. — Lô ccutre de gravité d^un parallélépipède rectangle homogène est à l'intersection de ses trois diagonales.
On peut en effet considérer le parallélépipède rectangle comme un prisme droit ayant pour base une quelconque de
ses faces; lecentre de gravité se trouve donc à la fois dans les trois plans menés parallèlement aux faces opposées , à égale distance de ces faces, c'est-à-dire au milieu des Irois diagonales.
Un rectangle matériel peut être considéré comme la limite d'un parallélépipède rectangle dont une dimension décroît indéfiniment. Le centre de gravité d'un rectangle matériel homogène est donc au point de rencontre de ses deux diagonales.
De même, une droite finie homogène peut être regardée comme la limite d'un rectangle homogène dont une dimension aurait été «indéfiniment réduite; le centre de gravité d'une droite finie homogène est donc le milieu de dette droite.
173. Enfin, si un système matériel a un plan de symétrie, eu égard non-seulement à ses formes et à ses dimensions géométriques, mais encore à la distribution des quantités de matière réparties entre ses divers éléments, de telle sorte que deux éléments symétriquement placés renferment d^égales quantités de matière^ le centre de gravité du système est situé dans le plan de symétrie. Car ce système peut être décomposé en une infinité de prismes droits normaux au plan de symétrie, et dont les centres de gravité sont tous situés dans ce plan. Le centre de gravité de l'ensemble est donc aussi un point du même plan .
Il en est encore de même quand le système'a un plan diamétral, c'est-à-dire un plan qui coupe en deux parties égales les droites de jonction des élémenis correspondants pris deux à deux.
Corollaires. — l*" Le centre de gravité d'une sphère homogène, ou formée de couches concentriques homogènes, est son centre de figure.
S"" Il en est de même pour un ellipsoïde homogène.
3° Le centre de gravité d'un corps de révolution est situé sur ion axe.
4** Le centre de gravité d'un cercle homogène ou d'une ellipse homogène est situé au centre de figure. II en est de même du centre de gravité d'une circonférence homogène, ou du périmètre.d'une ellipse.
DE GRWITÉ. 263
Ces derniers exemples montrent en même temps que le centre de gravité d'un système matériel peut être un poini géométrique en dehors de l'espace occupé par ce système.
Considérons par exemple le solide engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite menée dans son plan en dehors de ce cercle. Ce solide reçoit le nom de tore. Le centre de gravité d'un tore homogène est le centre du tore, c'est-àdire le pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle générateur sur Taxe de révolution. Ce point est en dehors de l'épaisseur du solide.
5"* Le centre de gravité d'un polygone régulier homogène, quel que soit le nombre de ses côtés, est le centre du cercle circonscrit au polygone.
