CENTRE DE GRAVITÉ DU TRIANGLE ET DES POLYGONES

174. Soit ABC un triangle homogène. Partageons-le en bandes infiniment minces, en menant une série de droites parallèles au côté BC. Nous pouvons regarder l'une quelconque de ces bandes, mm^n'n\ comme un rectangle infiniment mince : ce rectangle étant homogène par hypothèse, son centre de gravité est au point I, intersection de ses diagonales. A la limite, quand l'épaisseur du rectangle devient infiniment petite, le centre de gravité se confond avec le milieu de la dimension mn. „. ,,„

FiflT. 148.

Tous les milieux des droites parallèles mn, inscrites dans le triangle, sont situés sur une même droite AD, menée du sommet A au milieu D du côté opposé. Le centre de gravité du triangle est donc aussi sur cette droite, car, pour l'obtenir, il suffit de composer ensemble les poids respectifs des bandes mm'nn'y appliqués aux milieux des

diverses droites mn, c'esl-à-dire appliqués aux différents points de la droite AD.

On arrive plus simplement à ce résultat en observant que la droite AB est un diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la base BC, et les trapèzes infiniment petits mm'n'n.

On connaît donc une droite AD qui contient le centre cherché ; pour achever la solution, on observera que le centre de gravité du triangle se trouve aussi sur la droite BE, menée du sommet B au milieu E du côté opposé. 11 est donc situé au point G, intersection de ces deux droites.

On peut aussi avoir recours, pour achever la solution du problème, au principe de la similitude.

Prenons les milieux E et F des côtés AB, AC, et joignons ED, DF, FE. Nous partageons ainsi le triangle donné en quatre triangles égaux entre eux, AEF, FDE, FDB, RDC, et ayant par conséquent une surface égale au quart de la surface du triangle total. Le point K, intersection des droites EF, AD, est le milieu de la droite FE ; prenons les milieux L et M des deux parties BD, DC, de la base. Les centres ^^^ de gravité des quatre triangles partiels f^^^ / seront respectivement sur les droites ^^-^-^/^i 7 ^' ^^^ FL, EM. Mais dans deux figures A <^i L IjJmp homogènes semblables^ les centres de gra- \A-^ / vite sont des points homologues (g 157,

B X^Y Rem.). Soit donc G le centre de gravité

^ du triangle total ; appelons x la distance

Fig. 149. ^^' P^"^ ^^'^^^ '^^ centres de gravité

des triangles partiels, il suffira de remarquer que ces triangles sont semblables au triangle total,

et que le rappport de similitude est ^. Soit AD=/, Le centre de gravité g du triangle AFE sera situé à une distance A^ du point A égale 'à ^ x.

Le centre de gravité g^ du triangle EFD sera situé à une dis-