D'UN SEGMENT DE CERCLE
signe de l'intégrale, et la prendre 'entre les limites a et 0, ce qui revient à la prendre avec son signe entre les limites 0 et a; il faut enfin la multiplier par R* :
Pour (p = «, l'intégrale indéfinie devient ô« — Tsin2a, Pour ^ = 0, elle devient 0.
La différence est ô « — t sin 2a, qu'il faut multiplier par R*. On a donc
.;yda: = ^-jR«sin2«, .
résultat connu, car il exprime que Taire, 2/yrfa;, du segment BCA, est la différence entre l'aire, R*a, du secteur BOCA, et
Taire, ^ R* sin 2a, du triangle BOC.
Nous avons encore à faire Tintégrale
et à la prendre entre les mêmes limites* a; = m, a; = R.
On Tobtient facilement en prenant y pour variable indépendante.
En effet,
ce qui nous donne xix = — j/dy.
Donc
iyxdx = — fy*dtj = ~ j'
fonction qu'on doit prendre entre les limites î/=IB=v'ï^* — ^^* pour a; = m, et y = 0 pour 05 =R.
Le résultat est
Mais nous avons posé m = R cos a , et par conséquent VR* — m*=Rsina; l'intégrale définie a donc pour valeur
^R'sin'a.
SJi asm K GRàflTK
Ea d^iiifhe, Fabscisse dierchce ^ est donoée par la fbnunle
Pour Tërifier cette formule, obsenrons qu elle, doit donner çz=0, quand le sèment comprend toute la surface du cercle, c'est-à-dire quand % = 'z; car alors le centre de gravité est au point 0 ; et c'est en eflet ce que le calcul indique. Nous devons de plus avoir ç=R pour a = 0, puisque le segment se réduit au point A, qui est à lui-même son propre centre de gravité. Pour reconnaître ce résultai, remarquons que si a est un infiniment petit du premier ordre, sin' a est un infiniment petit du troisième, et qu'ainsi le dénominateur 6x — 5sin2i doit être lui-même du troisième ordre, pour que la valeur de Il fraction puisse être un nombre fini. On a en effet, en développant sin 2a en série,
lx2x3^1X!;iX.X4x5
et par suite
6x — 5 sin 2a = '^ etc.,
les ter.nes omis étant tous d'un ordre de petitesse supérieur au troisième.'
On a donc
4sin*a 4siii'o
«a — 3 sir 2a (2a)5 . '
divisant haul et bas par a', puis faisant a=0 pour passer à la limite, on trouve l'unité pour vraie valeur de la fraclion.
On parvient au même résultat en prenant les dérivées des doux termes de la fraclion, et en supprimant le facteur commun sin* a.
CENtRE DE GRAVITÉ d'uN ARC DE CERCLE HOMOGÈNE.
182. Le centre de gravité G de Tare homogène BC est situé sur la droite OA qui divise cet arc en deux parties égales, à une distance Ç = OG, qu'il s'agit de déterminer,
SoitBOC = 2a,elOA = R.
La position des différents points m de l'arc BC sera définie par l'angle mOA = 6, mesuré dans le sens Am à partir du milieu A de Tare total. Cet angle variera donc de — a à -H a.
C'arc élémentaire mn aura pour mesure Rd6 ; il est à la distance mp = Rcos 6 de Taxe OY, élevé au point 0 perpendiculairement à OA. Son moment par rapport au plan profilé en OY est R*cos6rf6, et par suite Tal}scîsse Ç du centre de gravité est donnée par l'équalion
Fig. 160.
h*cos$d6
MB
Le dénominateur n'est autre chose que la longueur de l'arc CAR lui-même. Représentons la par s.
Le numérateur /R'cos6de est égal à R*sine, fonction à prendre entre les limites — a et H- a, ce qui donne en définitive 2R*sina, ou bien Rx2Rsina. Or 2Rsina est la longueur de la co» de BC. Représentons-la par /.
Il viendra
La distance du centre de gravité d'un arc de cercle au centre de cet arc est donc le quatrième terme de la proportion
mg CENTRE DE GRAVITÉ
dont les trois premiers sont la longueur de Varc^ le rayon et la corde.
On peut aussi conserver à cette équation -la forme primitive sous laquelle elle a été obtenue :
2n«sina
'2a<jt
= Rx:
Fig. 161.
La recherche du centre de gravité de l'arc de cercle homogène peut se rattacher à l'étude du mouvement circulaire uniforme projeté sur un diamètre fixe (I, g 56). Soit ACB un arc de cercle, dont le centre est au point 0; le rayon OC divise l'arc en deux parties égales ; soit ab la direction d'un diamètre perpendiculaire à ce rayon.
Posons AOC = COB = a.
Imaginons un mobile M partant du point A et parcourant l'arc AB jusqu'au point B avec une vitesse constante : soit w la vitesse angulaire du rayon OM. Le mouvement de la projection m du point mobile M sera défini par l'équation
x = Rsinoi)^,
en supposant qu'on compte les distances a; = Om à partir du point 0, et les temps t à partir de l'heure du passage du mobile.au point C ; les valeurs négatives de a; et de ^ correspondront au parcours de l'arc AC.
La vitesse v du point m, est égale à
dx
V =: -^ = Rw COS (d = wî/,
en appelant y l'ordonnée Mm.
La vitesse moyenne (I, g 289) du point m dans le trajet ab est égale à la moyenne de toutes les vitesses v, ou au produit de (I) par la moyenne de toutes les ordonnées y de l'arc homogène AB, ou enfin au produit wt/^ de la vitesse angulaire par l'ordonnée y^ = OG du centre de gravité G de l'arc AB.
D'un autre côté, cetle vitesse moyenne est égale à la longueur aby divisée par la durée T du trajet.
Ce temps T est double du temps que le mobile M met à aller
2a de C en B, c'est-à-dire il esl égal à —•
On a donc l'égalité
ou bien
Multiplions haut et bas par R, rayondu cercle ; il viendra
ab
wj/l
~(SÏ
ab AB
RXAB RxAB
2Rst
arcAB
formule identique à celle que nous venons de trouver par une autre méthode.
183. Remarque. — Si Ton considère sur la circonférence (fig^. 162) une série d'arcs AB, commençant tous en un poinl fixe A, et terminés en un point B variable, on pourra construire le centre de gravité de chacun d'eux; il se trouvera sur la bissectrice OC de l'angle au centre correspondant, à une distance OG = Ç donnée par la formule. On obtiendra ainsi un lieu géométrique qui passe au point A et au point 0, et qui peut se prolonger indéfmînient en considérant des arcs plus grande que la circonférence. Si G est le centre de gravité de l'arc AB, il est facile de voir que la droite BG est tangente au lieu géométrique au point G. En effet, pour passer du centre de gravité G de Parc AB au centre de gravité G' de l'arc AB', infiniment peu différent de l'arc AB, il suffit de composer le poids de l'arc
Fig. 162.
AB, appliqué en G, avec le poids de l'arc BB' appliqué au milieu de Tare BB' ; le centre de gravité G' est donc sur la droite qui joint le point G au milieu de l'arc intîniment pelit BB', c'est-à-dire à la limite, sur la droite GB. Celte propriété est générale et appartient à tous les lieux géométriques des centres de gravité des arcs de courbe qui ont une extrémité fixe.
Le lieu géométrique des centres de gravité a donc pour tangente au point 0 le rayon OA ; car le point 0 est le centre de gravilé de la circonférence entière qui se termine au point A.
L'équation du lieu, en coordonnées polaires ?■ = OG = r, cl 0= GO A, sera
La brandie AGO correspond aux valeurs de 6 comprises entre 0 et tc, c'est-à-dire aux centres de gravilé d^arcs donl Tangle au centre varie de 0 à 2x, Pour avoir le centre de gra« vite de l'arc 2icR + AB, il faut composer le poids de l'arc 2^R,
appliqué en 0, avec le poids de ;b Tare AB=:26, appliqué en G, ce
qui donnera^ sur OG un point Gp défini par la proportion
OG^ arcAR e GjG"" SttR ~w'
La tangente au point G^ sera la droite G^B.
La courbe fait une infinité de circuits, de plus en plus resserrés; cliacun passe par le point 0, et touche en ce point la droite OA. /
Nous nous arrêterons un inslant à étudier les propriétés géométriques de cette courbe.
Fig. 163.
PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DU LIEU DES CENTRES DE GRATITÉ DES ARCS DE CERCLE.
184. Soil ((ig. 164) AGEOla courbe, lieu des centres degravilé des arcs comptés sur la circonférence AB à parlir du point A. Un point G, pris sur la courbe, est le centre de gravité de Tare AB, double de l'arc AM, qui se termine à la rencontre de la circonférence et du rayon OG.
Par le point 1, milieu de OG, életons sur OG une perpendiculaire 10', qui coupe en 0' la direction OK, perpendiculaire àOA; du point 0' comme centre avec O'O pour rayon décrivons un arc de cercle, qui touchera en 0 le rayon OA, et qui passera par le point G. Je dis que la longueur de l'arc OG est égale au rayon du cercle donné.
En effet.
^ - „ . sin 0 0G = 0AX -7-»
Fig. 164.
en appelant 6 Tangle AOM. Le rayon O'O de Tare OG est égal à
cosO'Oii
oui
sinô
La longueur de Tare OG s'obtiendra en mullipliant le rayon O'O par l'angle au centre OO'G, qui est égal à 2e ; elle est
donc égale à ^ x 20, ou à OA.
Corollaires. — l"" La demi-circonférence décrite sur OE
m COURBE DES CENTRKS DE GRAVITÉ
comme diamèlre a une longueur égale à OA ; et par suite le point E appartient à une cycloïde dont la distance AA' serait la base.
2° Si l'on prend le milieu F de OE, et qu'on décrive une circonférence sur OF comme diamètre, cette circonférence sera osculalrice au point 0 à la branche EO dû lieu des centres de gravité.
i85. Construction mécanique de la courbe. — Une lame élastique infiniment mince, de section uniforme, solidement encastrée dans un mur à une de -ses extrémités, et fléchie par un couple appliqué à son extrémité libre, se courbe suivant un arc de cercle dans la région comprise entre l'encastrement et le point d'application de la force la plus voisine; cette déformation n'entraîne aucune altération de longueur de la fibre moyenne entre les mêmes points.
On peut utiliser cette propriété pour le tracé mécanique de la courbe AGE.
Fixons dans un étau, au point 0, une lame élastique de section constante qui, dans sa forme naturelle, coïncidera avec la droite OA. Appliquons à cette lame, au delà du point A auquel on veut faire décrire la courbe^ deux forces parallèles, égales et contraires, La lame se courbera, et prendra, dans la région OA, une courbure proportionnelle au moment du couple ainsi formé. Nous pourrons par conséquent, en faisant croilre le moment du couple, donner à la lame une courbure graduellement croissante, et tant que la limite d élasticité ne sera pas atteinte, la ligne dessinée à chaque instant par la région OA de la lame sera un arc de cercle qui aura son centre sur la droite OK, normale à la direction OA de l'encastrement, et dont la longueur sera égale à la longueur primitive OA de la lame élastique. L'arc OG étant l'un de ces arcs de cercle, le lieu décrit par le point A dans ces déformations successives est la courbe AGE.
186. Des propriétés connues des centres de gravité on peut déduire certaines formules de trigonométrie.
1** Soit G le ceïilrQ de gravité de l'arc AB, situé sur la bissectrice de Tangle AOB.
Soient G', G" les centres de gravité des deux moitiés lA, IB, de Parc AB. Ces deux nouveaux points seront situés sur les bissectrices OF, 01" des deux moitiés de l'angle, et la droite G'G" passera au point G et y sera divisée en deux parties égales. La symétrie exige d'ailleurs que Vahgle OGG' soit droit. Donc, étant donné le centre de gravité G d'un arc AB, on obtiendra le centre de gravité de sa moitié AI en élevant en G sur OG une perpendiculaire qui coupera au point cherché la bissectrice de l'angle GOA.
Le point G' appartient à la courbe lieu des centres de gravité des arcs issus du point A. Par conséquent, si r est la distance OG, et r' la dislance OG', correspondante à un arc moitié moindre, 0 étant l'angle GOA, on aura à la fois
Fig. 165.
sinO
et le triangle OGG' donnera
COS jr
De ces trois équations on déduit la formule connue
sinO = 2eiin 5CQS5.
2** On passe du rayon r au rayon r' en divisant le premier X ; de même on passera du rayon r' au rayon r", cor-
par ces X
respondant à un angle ^7 en divisant par cos 7, et on peut
pousser aussi loin qu'on voudra cette déduction. A la limite, on parviendra au rayon qui correspond au centre de gravité
m COURBE DES CENTRES DE GRAVITÉ
d'un arc infiniment petit, c'est-à-dire au rayon a du cercle donné. On a donc l'équation
fl = lim -
COS 5 COS 7COS-5 . . cos ô" I
, . , sinO
ou, en remplaçant r par sa valeur fl— r— ,
sin-O .. / ô 0
-r— = Iira (cOSrCOS^
COS r COS^ COS^ . . . COSâ^ I
pour n infini.
De là on déduit une manière de trouver le rapport de la circonférence au diamètre. La courbe coupe la droite OK en un point E, centre de gravité de la demicirconférence, situé à une distance OE du
centre égale à ~ . Élevant en E sur OE la
perpendiculaire EF, jusqu'à la rencontre du rayon OF, qui divise l'angle droit en deux parties égales, on aura le centre de gravité, F, du quart de la circonférence, puis, en répétant la même construction, le centre de gravité, 6, du huitième de la circonférence, le centre, H, du seizième, etc. Donc
et par suite
Fig. lCv6.
fl^lim-
TT
cos^cos^cos^IL...
2~ TT COSy
cos^cosfg...
Chacun des facteurs du dénominateur peut être calculé
priori. On a en effet cos 7 =— , et, pour t
cosinus, on appliquera la formule générale
apriori. On a en effet cos 7 =— , et, pour trouver les autres
« A H -4-cosa
DKS AUGS DE CERCLE. 285
La série devient Irès-convergenle dès qu'on atleint des arcs suftisamment petits par les bissections successives. Si Ton
fait le calcul, par exemple, jusqu'au fadeur cos ^^i correspondant à un angle au centre de 10' 32",8, on trouvera trèsrapidement, en s'aidant des logarithmes, la valeur suivante, dont les six décimales sont exactes : î:=3,141592.
5° Parlageons Tare AB, correspondant à un angle au centre 20, en n parties égales aux points 1 , 2,..; n — 1 ; prenons les centres de gravité de chacune de ces n**°*®* parties, et cherchons le centre de gravité de l'ensemble, ou de l'arc total AB, Il suffira pour cela, puisque toutes les parties sont égales, de prendre la moyenne arilhmélique des coordonnées des centres de gravité de cliacune.
Soient, d'une manière générale, ir», j/», Içs coordonnées du centre de gravité de l'arc compris entre les points k — 1 et fc, et X, Y les coordonnées du centre de ^ig. i67.
gravité général, ces coordonnées étant rapportées aux axes rectangulaires OA, OY; il viendra, en appliquant les formules :
nn 0 , sin 0 . .
Xi = a cosO. w, = «— —sinO,
sinO ^^ sinO . ..
x^ -= a -^ cos 00, î/a = a -,— sm oO.
ini
ar- =r rt --— cos 50, ?/r, = « —tt' ^'" ^^»
Donc
j-„= rt -pcos [2/1 - 1) 0. yn = a^--- bin(2;i — 1)0.
-hxn
rtsinO
~ ne
-yt
asinB
fi
"" ne
(cos 0 + cos 30 -f- cos 50 + . » . 4- cos (2n — t) 0), (sin 0 4- sin 30 -h sin 50 -h ... 4- sin(2/i — i j 0) .
286 GOUnBE DES CENTI'.ES DE GRAVITE
Mais on a d'un autre côté, toujours en vertu des mêmes formules,
a sin nS \ = — -:: — cosnô,
a sin nO
nO
sin nB.
Comparant ces deux groupes, on en déduit les relations suivantes :
sinnOcosnO sin2nd
sinO
COS0 -I- cos30 -f cos50 4- . . . + cos (2n — 1) 0 =
sin 0 -+- sin 5d + sin50 + . . . -f- sin(2fi — 1)0= -— - .
Soit par exemple 0 = ^ . . On aura
2 sine '
cos8 + cos30 -+-... +cos(2« — 1)0 :
2sin
