TT
187 . La courbe coupe le rayon OK, perpendiculaire à OA, en une infinité de points E, E', E",.». sans compter le point 0 qui est un point multiple d'un ordre infini, puisque toutes les boucles successives du lieu y passent. Le point E est le centre de gravité de la demi-circonférence, le point E' le centre de gravité de trois demi-circonférences, le point E" de cinq demi-circonférences, etc. On obtient ces points en faisant successivement
dans la formule
Fig. 168. ce qui donne
sin0
r = — , r*^ — =-, r" = +r-» r"' = — =-, etc.;
n Oit oit lit
Les valeurs négatives correspondent aux valeurs de ô pour lesquelles le rayon prend la direction OK'; elles doivent par
suite être portées comme les antres sur la figure dans le sens OK.
Gela posé, la limite de la somme algébrique
est égale à la moitié du rayon OA.
En effet, remplaçant r, r', r",... par leurs valeurs, il vient pour celte somme
La série entre parenthèses est le développement connu
de j par la série de Leibniz; donc la somme est égale à
^a T. , a — X -/ ou a 7t .
188. Connaissant le centre de gravité d'un arc de cercle, rien n'est plus facile que d'en trouver la longueur. On a, en effet, en appelant s la longueur de l'arc, et 0 le demi-angle au centre.
Donc
sinô
rs = aX^a sin
On trouvera la longueur de Tare en prenant une quatrième proporlionnelle à la distance r du centre de gravité au centre, au rayon et à la corde.
Si Ton a, par exemple le centre de gravité E de la demi-circonférence ABA', on trouvera le développement de Tare AB en joignant EA', et en élevant A'S perpendiculaire à EA', jusqu'à la rencontre avec EO prolongé* On a en effet
os K CE = A'uS
Fig. 169.
OU bicii
Donc
osx^ = w^
OS = y=arcAB.
189. Co7istruction de la courbe par points. — La courbe lieu des centres de gravité des arcs issus du point A n'a qu'un seul paramètre, le rayon OA = a du cercle. Toutes les courbes qu'on peut obtenir en traitant successivement différenis cercles sont donc semblables entre elles, et on peut construire une fois pour toutes une courbe de cette nalure, dont on pourra déduire toutes les autres au moyen d'un simple changement d'échelle.
Celte considération permet d'éliminer Tare ô, et de ramener la construction par points de la courbe type a des opérations algébriques qu'on puisse exécuter avec la règle et le compas.
Ne fixons pas d'avance le rayon a ; soit OX le rayon à partir duquel on compte les arcs sur un cercle indéterminé; donnons-nous un point M delà courbe, sur un rayon OM qui fasse avec la droite OX un petit angle 6 dont on connaisse d'avance le sinus. Menons par le point 0 des droites Oa, Ofr, Oc,... qui fassent avec Taxe OX les angles 26, 50, 40,...
Fig. 170. Nqus pourrons facilement trouver les
points de la courbe situés sur ces nouveaux rayons. Ne nous occupons, pour plus de simplicité, que des rayons 0&, Od,. . qui font avec OX les angles 36, 50,... égaux aux multiples impairs de 0. Appelons r la distance OM, r^ la dislance OM^, ^5 la distance OMjj,..., r„ la dislance correspondante à l'angle fiô; nous aurons à la fois
sin nd
nù sin0
rn sinnQ r wsinô*
Mais pour n entier impair on a l'équation d'Euler : sin». = „sin«-!ii;^sin».H-"t";-^j'»--^in.a--...
formule qui contient un nombre limité de termes, et dans laquelle on suppose que 6 est le plus petit arc positif répondant au sinus donné.
Donc
expression qu'on pourra construire.
On trouvera ainsi, par des opérations algébriques, autant de points qu'on \oudra de la courbe; ces points* seront assez rapprochés pour permettre de la tracer, si Ton est parti d une valeur de 6 suffisamment petite.
Pour trouver ensuite le rayon a, on appliquera la remarque 2** du g 186, et on aura, avec une approximation aussi grande qu'on le voudra,
fl = OM X -
COS^cCOStCOSs-...
190. Division d'un angle en p + 1 parties égales. — Supposons qu'on ait tracé la courbe lieu des cenlres de gravité des arcs issus d'un point A. Soit AM cette courbe. Proposons-nous de prendre sur l'arc AB, à partir du point A, un arc AG égal à la (p + 1 )"** partie de AB. L'arc
BC sera égal à AB x ^ . » et les deux
arcs AC et BC seront entre eux comme
1 est à p.
Joignons OC, et menons la bissectrice 01 de l'angle COA,
