II. '— MÉG. COIUGKON

Le point g où elle coupe la courbe AM est le centre de gravité de Tare AC.

Le centre de gravité de l'arc BC s'obtiendra de même, en répétant symétriquement la courbe AM à parlir du point B, ce qui donnera une courbe BM', coupant la courbe AM au point G, centre de gravité de Tare total AB. Le centre de gravité de l'arc BC sera le point g', intersection de BM' avec la bissectrice OF.

Il résulte de là que les trois points jf, g' et G sont situés sur

fl'G i

une même droite, et que le rapport ~- est égal à -.

Donc le point g' est à l'intersection de la courbe BM' et d'une courbe homothétique à AM, obtenue en prenant le'point G pour centre de similitude inverse, et en faisant le rapport

de similitude égal à -. La courbe ainsi construite sera le lieu

dçs centres de gravité d'arcs comptés sur le cercle qu'on, déduit du cercle OA par la construction de la figure semblable.

Cetle construction s'applique notamment à la division du cercle en p 4- 1 parties égales. Construisons la courbe AEO, lieu des centres de gravité des arcs issus du point A, dans

le sens AB. -En répétant cette courbe en AE'O, symétriquement par rapport au rayon OA, nous aurons le lieu des centrés de gravité des arcs issus du point A et comptés dans le sens AB'. Par le point 0, menons une droite gOg\ telle que Ton ait

li ^M

Fig. 172. ^

Pour trouver le point g\ il suffira de construire une courbe semblable à la. courbe AEO, avec

le point 0 pour centre de similitude inversa, et - pour rap-

port de similitude. Cela revient à décrire un cercle OA" avec

OA un rayon égal à — , et à construire le lieu A"E"0, des centres de gravité des arcs de ce nouveau cercle, issus du point A" et comptés dans le sens A"B". Le point g' sera l'interseclion des courbes A"E"0, OE'A.

La direction Oj étant ainsi déterminée, il n'y aura plus qu'à doubler Tare AI pour avoir en AM Tare cherché, égal à la (p +• 1)"*^ partie de la circonférence entière. Car le point g est le centre de gravité de AM; le point g' est le centre de gravité de l'arc AB'A'M, qui complète la circonférence. \m centre de gravité de la circonférence est au point 0. On a donc

et par conséquent

arc AM 0/ arc AB'A'M ~" Og '

arc AM cire. OA '

191. La recherche du centre- de gravité du secteur circulaire homogène se ramène à celle du centre de gravité d'un arc de cercle.

Décomposons le secteur AOB en une infinité de secteurs infiniment petits, par des rayons Om, On ; ces secteurs peuvent être assimilés à des triangles, car l'arc mn est un élément rectiligne, et leurs surfaces sont proportionnelles aux arcs mn qui leur servent de base. Le centre de gravité du triangle Omn est situé en 3, sur la bissectrice de Tangle au centre, et au\

p du rayon à partir du point 0. Tous

^ Fig. 173.

les centres de gravité des éléments

appartiennent donc à un arc de cercle, A'B-, décrit du point 0

292 CEMRE DE GRAVITÉ

comme centre, avec les = du rayon du secteur donné pour

rayon, et le poids de chacun de ces secteurs est proportionnel à l'arc mn qui lui sert de base, ou à Tarc^ mV, qui en

est les ^. En résumé, le centre de gravité cherché s'obtien-

dra en composant des poids appliqués aux différents éléments de Tare A'B' , proportionnels aux longueurs mV de' ces éléments; c'est donc le centre de gravite de l'arc A'B' luimême.

Le centre de gravité G du secteur circulaire homogène est situé sur la bissectrice OC, à une distance OG du centre donnée par la formule :

og = oc'x^.5î:^=oc'x^5î:^= |o^

arc A'B' arcAB . Z . arcAB

CENTRE DE GRAVITÉ d'uN ARC D*flÉLIGE HOMOGÈNE.

192. Soit ABC (fig. 174) une hélice tracée à la surface d'un cylindre droit à base circulaire, projeté horizontalement suivant le cercle EF.

L'axe du cylindre O'O" se projette horizontalement au centre 0 du cercle.

Proposons-nous de chercher le centre de gravité d un arc d'hélice projeté horizontalement en MN et verticalement en M'N'. Nous ne diminuons en rien la généralité des raisonnemènis en supposant les points M et N symétriques par rapport à la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la ligne de terre LT.

Le centre de gravité, de l'arc d'hélice a pour projection sur le plan horizontal le centre de gravité gf de Tare de cercle MN, projection de l'arc d'hélice (§ 168, Rem. 2). Car tous les éléments de rhélice faisant le même angle avec le plan horizontal, chaque arc as pris sur l'hélice correspond sur. le cercle à un arc proportionnel à as, de sorte que l'égalité de la