D'UNE ZONE SPHÉRIQUE

sphère à laquelle appartient cette zone, et OF=:OP=OE son rayon. La zone ABCD, dont on demande le centre de gravité, est comprise entre deux plans parallèles, profilés sur la figure en AB, DC, et distants du centre 0 de quantités OS, OR.

Par le centre 0 de la sphère, menons un plan EF parallèle aux bases de la zone ; ce plan coupe la surface sphérique suivant un grand cercle;^ circonscrivons à la sphère un cylindre qui lui soit tangent tout le long de ce grand cercle. Il suffira pour cela de mener au point F une tangente FK au profil FPE de la sphère, et d'imaginer la surface cylindrique engendrée par la révolution de cette droite FK autour de l'axe OP. Les plans AB, CD, coupent cette surface cylindrique suivant deux circonférences projetées en MH et LG, et on sait que la surface de la zone sphérique ABCD est égale à la surface convexe du cylindre HGLM, comprise entre lés mêmes plans. Partageons la hauteur RS de la zone en un très-grand nombre de parties égales, et soit pp' Tune de ces parties. Par les points de division menons des plans pç, p'ç' parallèles aux bases; ces plans couperont la zone donnée en zones élémentaires engendrées par les arcs çç', et la surface cylindrique en tronçons engendrés par les éléments correspondants 55'. Or les hauteurs pp' de tous ces éléments étant les mômes, toutes les zones çç', égales aux surfaces ss', sont équivalentes. Chaque zone q(( a pour <;entre de gravité un point situé sur l'axe RS, entre les points pet p'; à la limite, lorsqjie le nombre des parties aliquotespp' est infiniment grand, le centre de gravité de la ione élémentaire peut être confondu sans erreur avec le point p; il en est de même de la zone cylindrique ss' correspondante. On peut donc remplacer la zone sphérique CB par la zone cylindrique GH, sans changer les surfaces ni les poids des

Fig. 176.

zones élémentaires, .et sans déplacer leurs centres de gravité respe<îtifs. Le centre de gravité de la zone sphérique CB coïncide donc avec le centre de gravité de la surface cylindrique GH, c'est-à-dire avec le milieu 1 de la hauteur RS, et par suite, le centre de gravité d[une zone sphérique homogène^ à une on à deux bases^ est situé sur son axe^ au milieu de sa hauteur.

CENTRE DE GRAVTTÉ d'uN FUSEAU mPlNMENT PETIT PAA', PARTANT DU PÔLE P DE LA SPHÈRE, ET TERMINÉ AU PETIT CERCLE AB.

195. Le centre de gravité de la zone PAB est au point I, milieu de la flèche PF. • .

Le centre de gravité d'un fuseau infiniment petit PAA' est situé dans un plan CD, parallèle à la base de la zone, et mené

par le point I. Car imaginons la calotte sphérique PAB décomposée en n fuseaux égaux entre eux. Les centres de gravité de chacun de ces fuseaux égaux seront tous situés, à distances égales, sur la circonférence d'un cercle dont le plan sera perpendiculaire à PO, ^*^^^^' . et dont le centre sera situé sur

cette droite. Le centre de gravité de l'ensemble est le centre de ce cercle. Or il coïncide avec le point I. Donc le centre de gravité de chaque fuseau pris individuellement est situé dans le plan CD.

En vertu de la symétrie, le centre de gravité de PAA' est situé dans le plan bissecteur de Tangle dièdre APA'.

On connaît donc une droite sur laquelle le point cherché se trouve situé. Il suffit de déterminer sa distance Ç à l'axe PO, en prenant les moments par rapport à un plan conduit par cet axe normalement au plan POA.

Décomposons la surface du fuseau en éléments infiniment petits mm'n% par des arcs de cercle décrits du point P